数学の問題です。

質問

数学の問題です。　y=Acos(x)-1/tan(x) が極値を持つようなAの範囲を求めよ。　という問題なのですが、解法がわかりません。　「Xについて微分をしたのち関数分離をして、直線じゃない方の関数の概形を調べ、評価する。」という手法をとったのですが、どうも上手くいきません。　なぜこの方法ではダメなのかという点も同時に教えていただけると幸いです。　解法だけでも結構です。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

なるほど、それが「関数分離」でしたか。
耳馴れない呼び名ですが、内容は順当です。
方針は、それでよいのですが、途中で計算が
複雑になってギブアップしたのですね。

分離するときに、y をそう置かずに、
y = (sin x)3乗
y = 1/A
とか、
y = sin x
y = 1/Aの3乗根
とか置けば、簡単な計算で済んだでしょう。
要は、dy/dx の符号変化だけ解ればいい
訳ですから。二階微分を行う必要もありません。

回答No.1

alice_44

「関数分離」って、何でしょう？ 興味深いので、
貴方の答案を補足に書いてもらえると幸い。
具体的な答案を見れば、ダメだった理由も
判るかもしれません。

解法のアドバイスとしては、
dy/dx が計算できたなら、dy/dx=0 となる x が
在るための A 条件を求めて、その条件の下に
y の増減表を書いてしまえばよいと思います。
増減表を書くとき、もう一度 A の値で場合分け
が必要になることが解かれば完了です。

補足

まず、y＝の式をｘについて微分。

y′=－Asin(X)+1/sin^2(X) 　になります。
これが　大なりイコール小なり　0（記号がパソコンでは変換不可能なため文字で書きます。）
となるとき極値をもつ。　（ここでは大なりイコール小なりの記号を＄で代用させてもらいます。）

よって　Asin(X)+1/sin^2(X) $ 0　より
１/sin^3(X) $ A となります。

ここで両辺の式をそれぞれ別の関数として分離
ｙ＝1/sin^(X) 　―(1)
ｙ＝Ａ　　　　　―(2)

とします。

ここで(1)式を再度微分。
そこで(1)’＝0に　なるようなｘの値をだして
その値を(1)式に代入
グラフの概形を求め
(1)式と(2)式の前後で大小が入れ替わるようなＡを評価する。

という手法をとったんですが
きっと二回目の微分からの微分した式＝０になるようなｘを求めるところで間違えているのかなー
と思うのですが・・・