移動の問題です

質問

周囲の長さが２４cmの三角形の辺上を半径４cmの円が1周する。
このとき、円の外側の移動距離はいくらになるか。
ただしπ＝３とする。

この解き方で、参考書には次のように解説してあるのですが、意味がわかりません。
わかる方教えてください。

円が三角形の頂点を通過するときの扇形の曲線部分の長さの合計は半径8cmの円の円周1つ分である。

↑これは、自明のことですか？

回答No.2

CC_T · ベストアンサー

自明のことです。
問題文でイメージがわかないなら、絵をかいてみましょうね。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

三角形の辺上を円が周回するということは、頂点付近を除き、
辺は円の接線にあたるので、円と辺の接点と円の中心とを結ぶ
直線は辺と直交します。
今△ABCの辺AC上をCからAに向かって半径rの円が進んでくると、
円の中心が辺ABの延長線上に来るまでは上記の直交関係が維持
されます。そこから先の円の中心の軌跡は、点Aを中心として
半径rの弧を描きます。どこまでかというと、円の中心が辺AC
の延長線上にくるまでです。ということは、半径rの弧の
中心角は＝角Aになります。円が１周すると、同様に中心角B
、中心角Cの半径rの弧が出来、三つを繋ぐと中心角A+B+C=2π
の弧、すなわち半径rの円になります。
ここでは円の外側の軌跡が問題ですから、半径2rの三つの
弧を繋ぎ合わせた半径2rの円が得られます。

お礼

回答ありがとうございます。

円と辺の接点と円の中心とを結ぶ
直線は辺と直交します。

理解力が無くて申し訳ありませんが、
↑のところが理解できません。

そのあとのご説明を拝見し、ぼんやりとではありますが、理解できた気がします。

どうもありがとうございました。

回答No.3

info22_

>円が三角形の頂点を通過するときの扇形の曲線部分の長さの合計は半径8cmの円の円周1つ分である。
↑これは、自明のことですか？

そうです。
凸四角形、凸五角形、凸六角形、…についても、同じく「半径8cmの円の円周1つ分である。」と言えます。

お礼

回答ありがとうございます。
自明のことなんですね。勉強になります。

回答No.1

DJ-Potato

問題文が、感覚的には言わんとしていることはわかりますが、数学的に厳密性を欠く表現な気がしますので、場合によっては解釈が分かれてしまうかもしれません。

要するに、三角形の外周に沿って円が動く時の円周の軌跡が通る領域の外側の長さを求めろ、ということですね。

辺に対応する部分は、円の半径4ｃｍなので、辺から8ｃｍ離れた所にある平行な線分になります。
頂点に対応する部分は、合計すれば半径8ｃｍの円周に一致しますが、それを証明なしで論じるのは充分かどうか微妙なところですね。

三角形ＡＢＣの、辺ＡＢと辺ＢＣと挟む角ＡＢＣを考えると、
扇形の中心角は、辺ＡＢに垂直な直線と、辺ＢＣに垂直な直線のなす角になります。
図を描くとわかるかもしれませんが、180°- ∠Bになります。
各頂点AとBとCでの、それぞれの角度を合計すると、
180°×3　-　(∠A + ∠B + ∠C) = 360°

図を描けば、自明ってことでいいんですかね？
感覚的には自明な気がしますが、感覚は証明には不充分ですよね。

お礼

なんだか哲学的ですね！
回答ありがとうございます。

180°×3　-　(∠A + ∠B + ∠C) = 360°
というところ、合点しました。
ありがとうございました。