誘電体電界・電束密度境界条件の使い方教えてください

質問

私は今電気磁気学の基礎的な部分を勉強しています。
それで疑問に思った所を質問しに来ました。
前提条件として、ε１、ε２[F/m]の誘電体が接し、境界面上に真電荷は無いものとする。
以下はガウスの法則を適用して導出することができる。
電界に関する境界条件：誘電体の境界部分に於いて、電界の接線成分は連続である。
電束密度に関する境界条件：誘電体の境界部分に於いて、電束密度の法線成分は連続である。
ということが教科書に書かれていましたが、言い回しが分かりにくいのと、具体的な適用方法がわからないので難儀しています。
「誘電率ε1[F/m]の誘電体1から誘電率ε2[F/m]の誘電体２のと境界面に電界E1が入射角θで入射した時、誘電体2内での電界E2を導出せよ。」
と言う割と簡単そうな問題を解こうとしたのですが、以上に言ったことより、原理が理解できていない為にすんなり解くことができません。
私は取り敢えず境界条件から、電束密度と電界が屈折することを利用して解こうと思いました。
以下が過程です。
D1cosθ1=ε１E1cosθ1=D2cosθ2＝ε2E2cosθ2
E1sinθ1＝Ｅ２sinθ2より
tanθ1/tanθ2＝ε１/ε２
∴ε１E1cosθ1=ε2E2cosθ2
θ１＝θ、θ２は屈折角として
E2=ε１Ｅ１cosθ/（ε2cosθ2）

この答では駄目でした。やはり、問題文に与えられていない文字を使ったからでしょう。
コンデンサの境界条件を使う問題は割と分かったのですが、これは他にどう解けばいいのかわかりません。どなたか解き方や教えてくれる人がいらっしゃいましたらお教えください！

回答No.3

rnakamra

#2のものです。
式を間違えていました。

> cos(x)=√{1+1/{tan(x)}^2}

これは間違いで
cos(x)=1/√{1+{tan(x)}^2}
となります。修正します。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>θ2=arctan{(ε2/ε1)tanθ}=arccos(ε1E1cosθ)/(E2ε2)
>ここから先へ進めません。

やっていることが違う。
θ2の式は
θ2=arctan{(ε2/ε1)tanθ}
で完成。この式を
E2=ε１Ｅ１cosθ/（ε2cosθ2）
に代入する。つまり、
E2=ε1E1cosθ/[ε2cos{arctan{(ε2/ε1)tanθ}}]
とすればよいのです。
この変形はここで終わりではありません。
xが鋭角のとき
cos(x)=√{1+1/{tan(x)}^2}
の関係を使い変形します。tan{arctan(x)}=xとなり式がわかりやすくなります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

E2とθ2をE1,θ,ε1,ε2で表してしまえばよいのです。
式は質問者の出した二つの式でOK。

tanθ/tanθ2=ε1/ε2
から
tanθ2=(ε2/ε1)tanθ
θ2=arctan{(ε2/ε1)tanθ}
となります。これを質問者が出したE2の表式に入れればよい。

ここから先も式変形があります。わからないようでしたら補足に書いてください。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

θ2=arctan{(ε2/ε1)tanθ}=arccos(ε1E1cosθ)/(E2ε2)
ここから先へ進めません。