微分 問題

質問

不等式-x^3+3a^2x-16≦0
が成り立つように定数aの値の範囲を求めよ。x≧0とする。

どうしても分からないのでどなたか解き方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

移項すると
　3(a^2)x≦ x^3+16 …(A)
左辺を
　y=3(a^2)x　…(B)
とおくと、これは原点を通る傾き2a^2の直線。

右辺を
　y=x^3+16
とおくとこれはy=x^3をy軸正方向に10だけ平行移動したグラフである。
y'=3x^2 なので原点を通る接線は接点を(xo,xo^2=16)とおくと
　y=3(xo^2)(x-xo)+xo^3+16=3(xo^2)x-2(xo^3-8)
原点を通るから　xo^3-8=0, xo=2
従って原点を通る接線は
　y=12x
(A)が常に成り立つ必十条件は(B)の傾き3a^2が
　3a^2≦12　つまり　-2≦a≦2
をaが満たすことである。

お礼

有難うございました！理解できました。

回答No.3

mister_moonlight

グラフで考えると良い。曲線が、x≧0での接線より上にあると良い。

-x^3+3a^2x-16≦0　→　x^3＋16≧3a^2x　がx≧0で常に成立すると良い。
つまり、3次曲線：y＝x^3＋16　が　原点を通る直線：y＝3a^2x　より上にあると良い。
y＝x^3＋16　上の点(α、α＾3＋16)における接線は、微分を使うと、y＝3α＾2*x＋16-2α＾3。
これがy＝3a^2xと一致するから、α＝2、a^2＝4　従って、求める答えは、a^2≦4　つまり｜a｜≦2.

お礼

どうもありがとうございます！

回答No.1

noname#152422

左辺=f(x)とおき、fを微分してx≧0での増減を調べる。
最大値が何か調べて、最大値≦0となるaの条件は何か調べる。
このとき、a>0,=0,<0によって状況が異なることに注意。
最後に、そのaの条件のとき、実際にf(x)≦0（x≧0）になることをいう。

お礼

有難うございました。