【数値解析】行列の可約、既約の判別法【差分法】

質問

現在、微分方程式の数値計算の差分法の計算をしています。
行列計算にあたり、参考資料を読み返しても今一理解できないところがあったので、どなたかご教示ください。
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n次行列A=a[i][j]がn>=2に対して、自然数集合N={1,2,...,n}の真部分集合J≠∅を適当に選んでi∈J，j∉Jなら[i][j]=0とできるとき、Aは可訳であるという。
これは適当な順列行列P（各行各列に1がちょうど1つ他は0）を選んで、P^tをPの転置行列とすると、
P^tAP={A[1][1],A[1][2]}　　　　（Oは零行列)
　　　　　{　O　　　,A[2][2]}　　　　（A[i][j]は行列。i=jならA[i][j]は正方行列）
の形にできることと同意である。また、n=1でA=Oを可訳と定義する。
Aが可訳でない時、既約という。n=1のときは、A≠Oを既約という。
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らしいのですが、これは具体的にどういう意味なのでしょうか。
真部分集合など言葉の意味はわかるのですが、では何を示すのかといわれると漠然としており、うまくできません。

たとえば
{2,-1,0}
{-1,2,0}
{0,0,2}
この行列は可約ですか？既約ですか？
{2,-1,0}
{-1,2,-1}
{0,-1,2}
この行列はどうでしょうか。考え方も教えてください。

どなたかご教示のほど、どうかよろしくお願いします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

すみません　最後のところ

>{2,-1,0}
>{-1,2,-1}
>{0,-1,2}
は例えばJ={1}としてみますと
a_12とa_13が０である必要がありますが
a_12は０でないため可約ではありません

に訂正させてください

お礼

大変ご丁寧な説明、本当にありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.1

hrsmmhr

定義どおりなら
６次行列A=(a_ij)として
J={234}なら
a_j4,a_j5,a_j6（j∈J）は０です。つまりAは
/a_11 a_12 a_13 a_14 a_15 a_16/
/ 0 a_22 a_23 a_24 0 0/
/ 0 a_32 a_33 a_34 0 0/
/ 0 a_42 a_43 a_44 0 0/
/a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 a_56/
/a_61 a_62 a_63 a_64 a_65 a_66/
ここでPを
/1 0 0 0 0 0/
/0 0 0 1 0 0/
/0 0 0 0 1 0/
/0 0 0 0 0 1/
/0 1 0 0 0 0/
/0 0 1 0 0 0/
としたら
APは
/a_11 a_15 a_16 a_12 a_13 a_14/
/ 0 0 0 a_22 a_23 a_24/
/ 0 0 0 a_32 a_33 a_34/
/ 0 0 0 a_42 a_43 a_44/
/a_15 a_55 a_65 a_52 a_53 a_54/
/a_16 a_56 a_66 a_62 a_63 a_64/

P^tが
/1 0 0 0 0 0/
/0 0 0 0 1 0/
/0 0 0 0 0 1/
/0 1 0 0 0 0/
/0 0 1 0 0 0/
/0 0 0 1 0 0/
ですから、P^tAPは
/a_11 a_15 a_16 a_12 a_13 a_14/
/a_15 a_55 a_65 a_52 a_53 a_54/
/a_16 a_56 a_66 a_62 a_63 a_64/
/ 0 0 0 a_22 a_23 a_24/
/ 0 0 0 a_32 a_33 a_34/
/ 0 0 0 a_42 a_43 a_44/
となります

>{2,-1,0}
>{-1,2,0}
>{0,0,2}
はJ={1,2}としてa_13とa_23が０なので可約です（a_31とa_32は関係ないです）
>{2,-1,0}
>{-1,2,-1}
>{0,-1,2}
は例えばJ={1}としてみますと
a_13とa_23が０である必要がありますが
a_23は０でないため可約ではありません