小学校のかけ算の問題について

質問

数学カテゴリと迷ったのですが、こちらで質問させていただきます。

とある掲示板で、小学2年生の算数の問題が話題になっていました。

「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？」

回答は以下のとおりだそうです。
　2×5=10　○
　5×2=10　×

元の掲示板では、その様に教える様に指導されているとのことですが
下の式が×になる理由がわかりません。
どの様な理由によるものなのでしょか？

よろしくお願いします。

回答No.32

temmusu_nagoya

kumada-さん。

文部科学省の文書を示してくださりありがとうございます。

まず初めに、なにを根拠にするのであれ、小学校での教育が一般社会の常識的考え方と乖離している現状はとても問題があります。ポスト毎に繰り返していますが、賛否を明確にしていただくために敢えてくどくもなります。

次にkumada-さんが根拠とされた文書を検討し、31番に引用された文言はより広い文脈で解釈すると、異なる見え方をすることを示します。長くなるのでお暇な時にどうぞ。

『小学校学習指導要領解説 算数編』の「第２学年の内容」は乗法を次のように定義します。

乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現として乗法による表現が用いられることになる。また，累加としての乗法の意味は，幾つ分といったのを何倍とみて，一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるといえる(引用末尾のページ番号をもって引用符に代える。『小学校学習指導要領解説 算数編』電子版の2番目のファイルのPDF文書としての第27ページ。以下同様。リンクはkumada-さん[31番]に既出)。

驚くべきことに、「一つ分の大きさ」と「その幾つ分か」をどのような順序で結合するかという規則は定義に含まれません。なぜ含まれないことに驚くべきかというと、この文書は「第４学年の内容」の同じような箇所で同じような文言を使って乗法を定義しているのですが、その箇所で明らかな順番に関する規定が盛り込まれるからです。ここでは「禁止されていないことは許可されている」という解釈をとり、4年生になるまでは児童は順番に関する規程を知らなくてもよいと判断しました。「第４学年の内容」については後述します。

この解釈の妥当性を傍証するかのように、「第２学年の内容」には、むしろ交換法則の発見と利用を促進するかのような記述が散見されます。

例えば，「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動を行うと，いろいろな並べ方ができる。下の図のように並べると，2×6，6×2，3×4，4×3などのような式で表すことができる(p 21。図は省略)。

「内容の取扱い」の( 4 )で「イについては，乗数が１ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする」と示されているように，ここでは，乗法に関して乗数が１増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質や，乗法についての交換法則について児童が自ら調べるように指導する(p 27)。
「イ」とは「乗法に関して成り立つ簡単な性質を調べ，それを乗法九九を構成したり計算の確かめをしたりすることに生かすこと(p 26)」ですから、九九表に関しては交換法則を認めるといっているわけです。

交換法則の適用できるのは九九表だけであるとは、「第２学年の内容」を読んだ限りでは、わたくしには判断ができません。（a：１あたりの量）×（n：回数）への適用は、教師に積極的に教える義務は課さないが、児童が実践することも積極的に禁止はしないというのが常識的な解釈だと思います。「許可されていないことはすべて禁止」という極めて厳格な解釈には無理があります。なぜなら（n：回数）×（a：１あたりの量）は順番付きという定義はまだ導入されていないからです。それは4年生で習う事項です。

「第４学年の内容」には、はっきりと順序の考え方が見られます。

乗法は，一つ分の大きさが決まっているとき，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり，同じ数を何回か加える計算と考える。例えば，0. 1×3 ならば，0 .1＋0. 1＋0.1の意味である。累加の簡単な表現として，乗法による表現を用いることができる。さらに，乗法の意味は，基準にする大きさとそれに対する割合から，その割合に当たる大きさを求める計算と考えることができる(p 82。27ページを参照のこと)。

「一つ分の大きさ」と「その幾つ分か」をこの順序で結合することが、累加の簡単な表現としての乗法の定義だといっています。この文言は確かに（a：１あたりの量）×（n：回数）に交換法則を適用してはならないという考え方と相性がよさそうです。

ところが、この記述を順序の厳格な遵守を要求すると理解すると、同じ学年の学習内容に極めて厄介な記述が存在します。

第３学年までに，加法や乗法の計算の仕方を考えたり計算の確かめをしたりすることの指導を通して，具体的な場面において，交換法則，結合法則，分配法則が成り立つことについて理解させてきている(p 100)。

この文言は4年生ではより一般的に3法則について学習することの背景説明になっています。ところで、「第３学年の内容」の該当部分(pp 46-7)をみても筆算へ展開するようなおもに配分法則に基づく計算の工夫ばかりで、（a：１あたりの量）×（n：回数） = （n：回数）×（a：１あたりの量）のように単位の掛け算にも交換法則の適用できることを示す例はありません。したがってこのポストでは、「具体的な場面」という言葉が何を意味するのか、この文書の中での用法を検討して、間接的判断の証拠とします。

「具体的な場面」の用例を当たると、この言葉は文章問題に相当するようです。例えば「第１学年の内容」では次のような文章問題が「具体的な場面」の例としてあげられています。

例えば，「太郎さんはどんぐりを８個拾ってきました。花子さんはどんぐりを７個拾ってきました。合わせて何個でしょう。」のような問題を通して，計算の意味や繰り上がりのある加法の計算の仕方について考える(p 9)。

学年が上がることによってこの言葉の定義が変わる可能性も想定しましたが、「第６学年の内容」に比に関する「具体的な場面」の一例としてコップに入った二種類の液体が同じ濃さになるようすること(p 145)が記述されています。この文書では「具体的な場面」とは一貫して文章問題を指していると判断できます。

文章問題が交換法則を用いてよい「具体的な場面」なら、「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか？」のような文章問題を解くのに必要な（a：１あたりの量）×（n：回数）を交換法則にしたがって（n：回数）×（a：１あたりの量）と変換することも、「第３学年の内容」を終えるまでには児童に理解させなければならないでしょう。この文言を極めて狭い意味でとらえ、「2 × 5という『立式』を計算の都合上5 × 2に変換することだけが許される。だから5 × 2 = 10は依然として間違った『立式』である」と考えるのは不適切です。そうすると、「<具体的な場面>において，交換法則，結合法則，分配法則が成り立つ」という限定が空文化してしまいます。

ここまでで、100ページの記述は（a：１あたりの量）×（n：回数）への交換法則の適用は、既に習っているはずだと読めます。順序は定義によって固定されていると考えると、矛盾が生じます。先に非常に厄介と書いたのはこの意味です。

それでは「第４学年の内容」が「例えば，0. 1×3 ならば，0 .1＋0. 1＋0.1の意味である(p 82)」のように乗法を定義していることをどのように理解すればよいでしょうか。同じ学年で交換法則について学ぶことと調和するように考えるなら、4年生にとっての乗法は順番付きの（a：１あたりの量）×（n：回数）だが、それは形式的な定義で、（a：１あたりの量）×（n：回数）のような別順の等価物を排除しないと見るべきでしょう。「第２学年の内容」が順番に触れずに掛け算を定義していることの意味は、極めて重大です。「第４学年の内容」で初めて掛け算の順番に言及するのは、掛け算に新たな制約を課すためではなく、むしろ交換法則が単位の計算にも及ぶことを理解させるための道具でしかないと思います。