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運動方程式と積分

運動方程式を 空間で積分する または時間で積分する ということがよくわかりません。 そもそも積分するというのは どういう意味があるのでしょうか? どなたか教えて下さい。

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  • gtmrk
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回答No.1

直感的な解説です。あまり厳密ではないのでご注意下さい。 正確に理解したい場合はモノの本で勉強して下さいね。 結構長いので頑張って下さい。 以下では全て1次元運動を仮定してお話しします。 ニュートンの運動方程式は  (1)  d2x/dt2 = F / m であることはご存じの通りです。 ここで d2x/dt2 は、時間 t の関数として表された 位置 x(t) を時間で2回微分したものです。 微分とは、その量の変化率を表す操作でした。 つまり、位置 x を時間で微分すると、 位置の時間変化率が求まることになります。 位置の時間変化率とは、位置[m]が単位時間[s]内でどれだけ進むか? ということですから、それはすなわち【速度[m/s]】という量です。 同様に、位置を時間で2回微分したものは、 速度[m/s]を時間[s]で微分したものですから、速度の変化率です。 この量は【加速度[m/s2]】として定義されます。 さて、積分とは早い話が『微分の逆』ですから、 この加速度で表された運動方程式(1)を、時間で1回積分できれば速度が、 2回積分できれば位置が、以下のように求まることになります…  (2)  dx/dt = ∫(F/m)dt = v(t)  (3)  x = ∫∫(F/m)dtdt …と言ってしまえばそれまでですが、 もう少し真面目に、原点に返って考えてみましょう。 ######## 添付の絵を見て下さい。 これは速度 v を時間 t の関数として v-t 平面に表したものです。今、 【関数 v(t) と t軸 および t=a, t=b で囲まれた部分の面積】 を求めたいとします。 変な形なので、a から b の間に n個 の細い長方形を並べて、 それらの面積の和を、この領域の面積と言い張ることにしましょう。 まず、長方形の面積 S1 は、  (4)  S1 = Δt * v(t1) です。ここでこの面積の物理的な意味を考えます。 横幅は微小な時間 Δt で、縦幅は時刻 t1 における速度 v(t1)ですから、 (4)式は、【距離=時間×速度】を表していることは明白です。 結局この面積 S1 を求めることは、 『時刻 t1 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』 を求めていることに他なりません。 同様に、面積 S2 = Δt * v(t2) は、 『時刻 t2 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』 ですし、面積 S3 = Δt * v(t3) は、 『時刻 t3 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』 です。 ということは、これらをある時刻 tn のところまで全て足し上げれば、 【ある時刻 t1 から tn までに進んだ距離 x 】を求めることが出来ます。 これを式で書き表すと、  (5)  x = S1 + S2 + … + Si + … + Sn       = Σ(Si)       = Σ{ v(ti) * Δt }   (添字 i = 1→n) しかし、絵を見ると、関数との間に微妙に隙間があったりして、 どうも気にくわないですよね。長方形の刻みが粗いからこうなるのです。 逆に言えば、刻み数 n を目一杯細かくしてやれば 正確な面積を求めることができるということです。 具体的には何刻みにすればいいか?そう、∞ ですね。 よって、(5)式は  (6)  x = lim Σ{ v(ti) * Δt }   (添字 i = 1→n, 極限 n→∞) と書き改められます。lim Σ とは何とも見てくれが悪いので、 これを別の記号で書くことにします。それこそが  (7)  x = ∫v(t)dt   (範囲 a→b) です。ついでに Δt を dt と書き換えました。 dt の d は Δ:delta(=微小)の意味です。 というわけで、この計算を『速度を時間で積分する』と呼びます。 速度の積分が距離(位置)を表している、 ということが理解できましたでしょうか? これは定積分の例なので、x は具体的な数字として求まりますが、 関数形 x(t) を求めたければ v(t) を不定積分すればよいわけですね。 その場合は積分定数が出てきますが、 これは普通、初期条件などから決めることができます。 結局、積分とは、変化を表す量 f から 元の量 F (F(t) を f(t) の原始関数と言います。) を求める操作と言えます。 今の例では、位置 x の変化率である速度 v から、元の x を求めました。 これは当然、速度 v の変化率である加速度 a を時間で積分すれば、 v を求めることがきるということです。 そもそも運動方程式は、位置 x(t) の微分方程式として 与えられるものですから、 これを【解く】とは、すなわち x(t) を求めることに他なりません。 運動方程式を解くには時間積分が不可欠な訳です。 と言っても、残念ながら(2)(3)式のように 単純な積分計算になることは少ないですが… ######## では、(1)式が  (8)  m * d2x/dt2 = F(x) という形で書けたとき、この両辺を空間(というか距離 x)で 積分すると何が求まるでしょうか?  (9)  m * ∫(d2x/dt2)dx = ∫F(x)dx       ⇔ m * ∫(dv/dt)(dx/dt)dt = ∫F(x)dx       ⇔ m * ∫d/dt(v^2/2)dt = -U2 + U1       ⇔ m/2 * (v2)^2 - m/2 * (v1)^2 = -U2 + U1 です。 まず左辺ですが、dx = (dx/dt)dt や、合成関数の微分の公式(の逆) を使ってちょっとトリッキーな変形をしているのに注意して下さい。 すると、見にくいですが、m/2 * (v)^2 という 見慣れた形が出てきました。これは…運動エネルギーですね。 v2, v1 はそれぞれ t = t2, t1 (x = x2, x1)の時の速度です。 次に右辺ですが、F(x)dx とは、力 F(x) と微小距離 Δx のかけ算ですから、 これはこの力によって物体がされた【仕事】を表します。 F(x) が -U(x) という形に不定積分できたとして、 x = x2, x1 のときの -U(x) を -U2, -U1としています。 (9)式をもっとわかりやすい形に変形します。すると  (10)  m/2 * (v2)^2 + U2 = m/2 * (v1)^2 + U1 おわかりでしょうか。これはまさに【エネルギー保存則】です。 つまり、-U(x) は物体のポテンシャルエネルギーを表しています。 なぜこんなに都合良くいくのか? それは、実はこの結果を元にこれらの量を定義しているからです。 いかがでしょうか? そもそもエネルギーなどの物理量もこの運動方程式の積分から導かれた、 ということをなんとなく理解して頂けたでしょうか?

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