真空実験 排出曲線

質問

排出曲線を片対数グラフに描いた時、その傾きが時間変化とともに傾きが緩やかになる理由を教えてください。
　log(P－P´) (P´は最終到達真空度です)を時間tについてプロットしたグラフです。

　(P－P´)=(P₀-P´)exp(-S/V)t Sは排気速度、Vは真空容器の体積。

回答No.2

sat000

補足に書かれたことはいくつかの可能性があります。
1. log(p-p')でプロットしているが、p'が実は違う。
2. log(p)でプロットしている。
3. 1.、2.の可能性を排除できたとして、QやSが実際はpの関数なので、私が提示した式がどこまでも使えるわけではない。

3. だとすると、そもそも解析的に解けません。
書かれた式(P－P´)=(P₀-P´)exp(-S/V)t (t はexpの中に入れないといけないのでこの式自体は間違いだが、意図は私の方で分かる) は、私の示したrate equationのSとQが一定の場合の解です。
従って、実験的には一定とみなせる範囲でのみ使えます。
そうでない場合は、Sはメーカーが特性を示していますので、頑張れば(数値的に解く、関数で近似する等)ある程度は何とかりますけど(あくまでもある程度、なぜならポンプへの配管等で実効排気速度が変わる)、Qは大抵の場合不明なので、実験的に調べるしかありません。
だからこそ排気特性を調べる意味があるわけですが。
Qはポンプのバルブを閉めて(つまりS=0にする)圧力のビルドアップを調べるとおおよそ分かりますが、厳密には真空計の付いている付近の特性(特にアウトガスは)なので、系全体に適用して良いかどうかはケースバイケースです。

補足

申し訳ありません。結局どのようにして示せばよいのでしょうか。

回答No.1

sat000

V dp/dt = Q - S p
を解きます。
こういうinとoutの差で変化を生むという記述をする方程式をrate equationと言います。
まあ、ある意味当たり前ですね、入ってくる量が出ていく量よりも多ければ、変化としては増える方向、逆なら減る方向ということを言っているだけですから。
Qは、壁からのアウトガスやリークなどで決まるソース項で、単位は昔だと Torr L/s、今だとMKSなので Pa m^3/s です。
解くと、
p = Q/S + C exp{(-S/V) t}
となり、
t -> \infty で p -> p' とすると、p' = Q/S となります。
また、
t = 0 で p = p0 とすると、C = p0 - p'。
よって、p = p' + ( p0 - p') exp{(-S/V) t}。
従って、ベースプレッシャ (到達圧力はこう表現することが多い) はQ/Sで書けるということも分かります。
ソースを、ある排気速度で排気していくというのが限界値だなというのは、直感的にも納得できますね。
SやQを一定として扱っているところが実際にはあまり現実的ではないですが、単純化すると分かりやすいというメリットはあります。

補足

質問文の三行目の式で、両辺の対数をとると、指数関数ではなくなり、指数関数的に傾きが緩やかに減っていかなくなるのですが・・・