数学の証明問題です。

質問

数学の証明問題です。
証明するのが大の苦手で、以下の問題をやったのですが全く分かりませんでした。
回答をお願い致します。

Ｍ_ｍ⊂ρ（Ｒ^2 ）を次で定める。

「E∈ρ(R^2 )がE∈μ_ｍである」
⇔(def)(∀_A∈ρ(R^2 ) )[ｍ(A)=ｍ(A∩E)+ｍ(A∩E^c)]

[1] ∅∈μ_ｍ 及び R^2∈μ_ｍ を示してください。

[2] （∀_E∈μ_ｍ ）[E^c∈μ_m ] が成立することを示してください。

[3] (∀E,∀F∈μ_m ) [E＼F∈μ_m]が成立することを示してください。

[4] E_1,E_2,⋯E_n,⋯はμ_ｍの互いに素な可算個の元とする。
このとき⋃_(n=1)^∞E_n=∐_(n=1)^∞E_n∈ M(R^2 )を証明してください。

[5] （∀_E ,∀_F∈μ_m)[E∪F∈μ_m]が成立することを示してください。

[6] (∀_E ,∀_F∈μ_m)[E∩F∈μ_m] が成立することを示してください。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

[1]あるE∈μ_ｍに対してm(∅)=m(∅∩E)+m(∅∩E^c)=2*m(∅)よりm(∅)=0
m(A)=0+m(A)=m(A∩∅)+m(A∩R^2)より ∅、R^2∈μ_ｍ
[2](∀_A∈ρ(R^2))[ｍ(A)=ｍ(A∩E)+ｍ(A∩E^c)]⇔(∀_A∈ρ(R^2))[ｍ(A)=ｍ(A∩E^c)+ｍ(A∩E)]
より（∀_E∈μ_ｍ）[E^c∈μ_m]
[3]∀_A∈ρ(R^2),∀_E,∀_F∈μ_mについて
m(A∩(E＼F))=m(A∩E∩F^c)=m(A∩E)-m(A∩E∩F)
m(A∩(E＼F)^c)=m(A∩(E^c∪F)=m((A∩(R^2＼(E∩F^c))=m(A)-m(A∩E∩F^c)
よってm(A∩(E＼F))+m(A∩(E＼F)^c)=m(A)
[6][3]より(∀E,∀F∈μ_m ) [E＼F∈μ_m]のFに[2]からF^cを入れて
(∀E,∀F∈μ_m ) [E＼F^c=(E∩F)∈μ_m]
[5][3]より(∀E,∀F∈μ_m ) [E\F∈μ_m]のEに[1]よりEにR^2をFに[2][5]からE^c∩F^cを入れて
(∀E,∀F∈μ_m ) [R^2＼(E^c∩F^c)=(E∪F)∈μ_m]
[4]は⋃_(n=1)^∞E_n=∐_(n=1)^∞E_n∈ M(R^2 )の M(R^2 )が不明なので…

お礼

回答ありがとうございます！
参考にさせて頂きます！

回答No.1

alice_44

記号の定義が不十分で、問題の意味がとれない。

論理式だけづらづら並べてないで、
自然言語で説明を加えれば、
多少はマシになるのではないかと思う。
(質問者が証明すべき命題の内容を把握
していると仮定した場合の話だが。)

お礼

ありがとうございました。