静止した流体に働いている力のバランス

質問

静止した流体の高さhの場所の密度をρ、圧力をPとしたとき、微小体積に加わる単位体積あたりの重力は重力方向の圧力勾配と釣り合っているはずなので、ρg+dP/dh=0となると思います。両辺をdhで積分して∫ρgdh+P=constantとしたとき、もし密度ρが一定ならρgh+P=constantとなって、速度項を除いたベルヌーイの式になります。このときρghはその微小体積の単位体積あたりの位置エネルギーという物理的意味を持っていると思います。これに対して気体などでρがhの関数になっている場合、∫ρgdhは物理的にどういう意味を持ち、圧力Pは何とバランスしているのでしょうか。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

ご希望の回答にはなっていないかも知れませんが…。

>密度ρが一定ならρgh+P=constantとなって、(略）…このときρghはその微小体積の単位体積あたりの位置エネルギーという物理的意味を持っている

そのように考えても構わない、というふうに受け取ってはいかがでしょうか？　いろいろに解釈できるところですから。
たとえば、
dP+ρgdh＝0
これを水平な任意の広さの平面（面積S)を考え
dP・S+(ρSdh)g=0
としてみれば、ρSdhは、底面積S,高さdhの流体の質量に当たりますから、(ρSdh)g はその流体に掛かる重力に等しい大きさです。それが、流体の上下のSの面が圧力差dPによって受ける正味の力通常浮力と呼ばれる力に等しい、と解釈することもできます。

密度がhに依存して変化する場合も同様に、重力と浮力とが釣り合っていると解釈することができますね。

お礼

有難うございます。普段液体を扱っている私は、ベルヌーイの定理はエネルギーの保存則、という考えが染み付いておりまして、圧力エネルギーと位置エネルギーの合計が保存される、という考えから抜け出せません。気体でも何とかその拡張で理解ができないものかと悩んでいました。やはり無理なのでしょうか。