• 締切済み

固体物理の

固体物理の絶縁状態を表すものに ハバードモデル Ｈ＝－ｔΣ_{(i.j)σ}（c_｛iσ｝＾†c{jσ｝＋h.c.）+UΣ_{i}n_{i↑｝n{i↓} というものがあると思います。 これの二次摂動の形が H'=Σ_{(i.j)σσ'（}2t^2/U）(c_｛iσ'｝＾†c{jσ'}c_｛iσ｝＾†c{jσ}) とかけるようなのですがなぜこうなるのか分かりません 二次摂動は Ｈ’＝Ｈ_0(E_0-H')^(-1)Ｈ_0 Ｈ_0　　　摂動ハミルトニアン Ｈ' 無摂動ハミルトニアン E_0　　　無摂動エネルギー のようなので分母が中間状態とのエネルギー差を表しＵになるのはわかります。 しかし分子に手が出ません。 初めはＨ_0・Ｈ_0に－ｔΣ_{(i.j)σ}（c_｛iσ｝＾†c{jσ｝＋h.c.）を代入すればいいと考えたのですがどうにも求める形にはなりません。 めんどうな質問だとはおもいますが途中の式変形の過程を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.1

一般論としては2次の有効ハミルトニアンはそのようにはなりません。 そうなるのは、１サイト辺り１個の電子がある(half filled)場合ですので、そういう系を考えているのでしょう。 また、2次摂動の(有効)ハミルトニアンがそう書けるというのは、 |g>,|g'>を無摂動ハミルトニアンH'の基底状態(縮退しています)とした時に、 <g|Σ_{(i.j)σσ'（}2t^2/U）(c_｛iσ'｝＾†c{jσ'}c_｛iσ｝＾†c{jσ})|g'> = <g|Ｈ_0(E_0-H')^(-1)Ｈ_0|g'> が成り立つという意味です。 |g>や|g'>を励起状態に置き換えた時のもこの等号が成り立つ、つまり、 Σ_{(i.j)σσ'（}2t^2/U）(c_｛iσ'｝＾†c{jσ'}c_｛iσ｝＾†c{jσ})=Ｈ_0(E_0-H')^(-1)Ｈ_0 が一般的に成り立つという意味ではありません。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 自然科学
  4. 物理学

関連するQ&A

  • 半導体中の二重量子ドットについて

    物性、量子力学ともに初心者です。 半導体中の量子ドットの電子挙動を考えたいと思います。 ハバードモデルにおける強相関電子系相互作用を考え 量子ドット中の電子数の移り変わりを考えたいのですが、 どのように数値計算してよいのかさっぱり分かりません。 ハバードモデルにおけるハミルトニアン H = H_u + H_t + H_U + H_J ドットのナンバー i=1or2, スピンσ=↑or↓として、 H_u = -Σ_iσ(u_i*n_iσ)・・・ケミカルポテンシャル H_t = -Σ_σ　（t*c†_1σ*c_2σ　+ H.c.）・・・トンネルカップリング uはドット内ポテンシャル c†は生成演算子、cは消滅演算子,nは数演算子 H_U = ・・・以下省略 おおまかに現象と式の対応を理解しているつもりなのですが、 このようにここで、uが分かっている場合、 実際にここで数値計算によりシュレディンガー方程式 解く際に生成演算子や消滅演算子、数演算子にはどのような値または行列を 代入すればいいのか全くわかりません。 調べても演算子の性質などの説明ばかりで、いまいちわかりません。 さらにこのハミルトニアンが与えられている状態だけで、固有状態、固有ベクトルが 求まったとしても、ドット内の電子遷移がどのようにあらわれてくるのか想像が 全くつかない状態です。 余談ですが、当方情報科学を専攻しており、このような物性や量子力学を全くの 我流で勉強しており、指導者がいない状態です。 どなたか丁寧に教えて頂けないでしょうか・・・

  • 電気双極子遷移に関する問題

    H_0=（P^2/2m）+（1/2mω_0^2X^2）の調和振動子における電気双極子遷移に関する問題です。 摂動ハミルトニアンをH'=-μE(t)とすると、摂動の最低次で<l|μ|n>≠0のときに、状態|n>と|l>の間の遷移が許される。ここで、μ=qXは電気双極子モーメントであり、初期状態が|n>のときに、どのような状態への電気双極子遷移が可能か。また、ハミルトニアンH_0に摂動項H'=λx^4を加えた場合、の新しい固有状態を|n'>とすると、初期状態が|n=8>'のとき、どのような状態への遷移が可能か。（λの一次までで考える） これはどのように考えればよいのでしょうか。どなたか、回答宜しくお願いします。 摂動項H'=λx^4を加えた場合の|n>のエネルギー固有値の変化は理解できています。

  • スピン演算子とフェルミ演算子

    各原子に電子が1個だけいる状態空間の中では、大きさ1/2のスピン演算子S_iと原子i上のスピンσの電子の生成・消滅演算子c_iσとの間に 1/2(c_iu^* c_iu - c_id^*c_id)=S_i^z …(1) c_iu^* c_id = S_i^+ …(2) c_id^* c_iu = S_i^- …(3) (uはアップ、dはダウン,*はダガーを表しています。) という関係式が成り立つらしいのですが、証明できません。 どなたか教えてください。 ちなみに斯波さんの「固体の電子論」で出てきました。ハバード模型の二次摂動エネルギーをスピン演算子で書き換えるという部分です。

  • 剛体ポテンシャルの摂動の問題ですが合ってますか？

    二次元剛体ポテンシャル V(x,y)=0 for |x|<(L/2) ,|y|<(L/2) V(x,y)=∞ otherwise について基底状態のエネルギー固有値と固有関数を求めた後 摂動ポテンシャルΔV(x,y)=axy、(a:摂動パラメータ)に対してエネルギーのずれを一次近似で求める問題です。 （解） Schrödinger方程式の解はu(x,y)=X(x)Y(ｙ)と変数分離可能であるから X(x)=0 X(x)=A_x Cos[k x]+B_x Sin[k x] 境界条件X(±L/2)=0より非自明解が存在するためにはdet(・)=0より k_n=n_x π/Lである必要がある。 したがってエネルギー固有値はE_xn=ħ^2 π^2/(2 m L^2) n_x^2 完全性関係式によって規格化すると X_n(x)=√(2/L) Sin[n_xπx/L] for n_x=2,4,... X_n(x)=√(2/L) Cos[n_xπx/L] for n_x=1,3,... Y方向も同様にして Y_n(y)=√(2/L) Sin[n_yπy/L] for n_y=2,4,... Y_n(y)=√(2/L) Cos[n_yπy/L] for n_y=1,3,... 以上よりエネルギー固有値は E[n_x,n_y]=ħ^2 π^2/(2 m L^2) (n_x^2+n_y^2) と書ける。よって基底状態のエネルギー固有値は E[1,1]=ħ^2 π^2/(m L^2) 固有関数は u[1,1](x,y)=X_[1](x)Y[1](x)=(2/L) Cos[πx/L]Cos[πy/L] 摂動ハミルトニアンH'を考えるとH'=H_0+ΔV(x,y) 摂動論より基底状態のエネルギーE_0とすると一次近似は， E_0(1)=<u_0(0)|H'|u_0(0)>=<u_0(0)|H_0+ΔV(x,y)|u_0(0)>=E_0(0)+<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)> したがってエネルギーのずれは ΔE=E_0(0)-E_0(1)=-<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)>=-a (2/L)(∫{-L/2,L/2}x Cos[πx/L]^2 dx)(∫{-L/2,L/2},y Cos[πy/L]^2 dy)=0 と求まる。 上のように摂動論を考えたところエネルギーのずれがゼロになってしまいましたがこの問題の解答としてはこれで合ってるでしょうか。エネルギー変化がないということは摂動ハミルトニアンが非摂動ハミルトニアンに等しいということで理解すれば大丈夫ですか？

  • 摂動論を用いた波動関数

    電荷eを持つ一次元の粒子について Ho=p^2/2μ+μ^2x^2/2のハミルトニアンを考えます。電場によるポテンシャルはH1=eV=eεzです。 これの基底状態のエネルギーと波動関数を摂動論を用いて一次まで求めるのですが、エネルギーはなんとか求めることができました。さて波動関数についてですが、参考書をみると係数の求め方は乗っているのですが、係数がかかる波動関数の求め方がわからず困っています。ぜひ教えてください> <よろしくお願いします。

  • ハミルトニアンのユニタリー変換

    　原子核が原点に位置する，電子数 Z 個の原子と，光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが，ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません．教えていただけないでしょうか？ ミニマル結合ハミルトニアンを 　　　H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2} 　　　　　+ (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr 　　　　　+ (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2}) とします．ややこしい式ですが，右辺第 1 項にだけ注目するので，説明は控えさせて下さい． 　このハミルトニアンに対し 　　　U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ} 　　　　= exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})} なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます． 　ただし，h~ = h/2π であり，また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで．また r_{j} は電子の座標です．A (r) はベクトルポテンシャル演算子です．B は，A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です．また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です． 　H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと 　　　U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j}) となるらしいのですが，なぜこうなるのかが分かりません．具体的には，U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが，U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが，なぜだか分かりません． 　どなたか，ご教授いただけないでしょうか？

  • 時間とエネルギーの不確定性関係

    フォトン放出を伴う光学遷移について勉強しているのですが、時間とエネルギーの不確定性関係について質問があります。 1.この(Δt)(ΔE)>h/2πという関係式は"原理"では無いので、導出できると思うのですが、どのように導出されるのでしょうか？ 2.現象としてどのように理解したらよいのでしょうか？ 「t=0で系にある摂動が加わったときに、摂動が加わって以後のある時間t=τに遷移した結果が観測されたとして、その遷移が0～τの間にいつ起こったかが分からないから、遷移が起こった時間は不確定Δt(=τ)となる。」まずここまでの理解は合っているのでしょうか？ 3.エネルギーの不確定性ΔEはどのようにとらえたらよいのでしょうか?例えば、2準位間(EνとEμ)の遷移だけを考えるとき、「状態はEνもしくはEμのどちらかであるから、ΔE=Eν-Eμである。」この考えは合っているでしょうか？ 非相対論範囲での説明をよろしくお願いします。

  • 一次元の井戸型ポテンシャル中の自由粒子についてハミルトニアンを導くとこ

    一次元の井戸型ポテンシャル中の自由粒子についてハミルトニアンを導くところなんですが 全エネルギー E = p^2 / 2m + U(x) --(A) p <- -ih d/dx (hは棒付き） --(B) ∴ H^ = (-h^2 / 2m) d^2/dx^2 + U(x) --(C) において、 (1) (B)運動量演算子 -ih d/dx がいきなりでてくるのがわかりません。教科書など見てもこの導き方が載っていません この運動量演算子というのは波動関数に作用させると運動量になるというものなのでしょうか (2) (C)ハミルトニアンは演算子なのに、U(x)の部分はただのスカラーになっていますがいいのでしょうか (3) (1)で運動量演算子を波動関数に作用させたものが運動量ならば、波動関数に(C)を作用させたものは、（運動エネルギー）＋（ポテンシャルエネルギー×波動関数）になってしまいませんか？ そうするとシュレーディンガー方程式は　（運動エネルギー）＋（ポテンシャルエネルギー×波動関数）＝（全エネルギー×波動関数） となって、次元が合わないような状況になってしまいませんか？ 質問の意味がわからなかったらすぐ補足するので、1つでもいいので教えてください。よろしくお願いします。

  • ２行のセルの入れ替え。

    　初めまして、よろしくお願いします。 　セルに A B C D E F G H I J K L 1 a b c d e f 2 g h i j k l 3 m n o p q r 4 s t u v w x 5 " ・ " ・ " ・ " 100 " 　という表があります。これを A B C D E F G H I J K L 1 a b c d e f g h i j k l 2 m n o p q r s t u v w x 3 " 4 " 5 " ・ " ・ " ・ " 100 " 　という風に、偶数行のデーターを奇数行の後ろにつけるようにしたいと思います。無理ならば奇数行だけのデーター、偶数行だけのデーターとなるように、何かよい方法を教えて頂きたく、よろしくお願いします。

  • プランクの放射式からプラズマ温度Ｔを求める

    I=（8πｈν^3/ｃ^3）*（１/（（e^(hν/kT)）-1）を 波長λ120nmから190nmの範囲で積分したいのですが，わかりません これで、温度Tを算出したいと思っています。 この時、波長120～190 nmでIを積分した結果は　U＝1.6*10^8 J/m^2　と 実験から実測されています。 よろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する