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無理数とは+
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>No.5 有理数のなす集合は可算無限, 実数全体はは非可算無限. 証明はカントールの対角線論法. 有理数全体と無理数全体の和集合(disjoint union)が実数全体 そして,可算無限の有限和集合は可算無限 もっというと, 代数的無理数(これは可算無限)よりも 超越数(これが非可算無限)の方が多い. ちなみに前回挙げた無理数の例は たぶん超越数だと思う(たぶん,リウヴィル数になると思う・・証明してないけど).
その他の回答 (6)
調べてみたらやはり カントールの対角線論法で 無理数>有理数 が証明されているようです。
無理数の数(個数)>有理数の数(個数) て本当かな? 有理数の数(個数)>無理数の数(個数) と思うけど。
- alice_44
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無理数は、存在するんでしょうか? それは、哲学的に大変深い問題で、 数学で解決できるようなことではありません。 数学で言えるのは、無理数は有理数ではない ということくらいです。 あと、「実数は便利だよ」とか。 例えば、一辺の長さが 1 の正方形は 対角線の長さが √2 になり、 √2 が無理数であることは、数学的に証明できます。 しかし、この過程で、 正方形の対角線に「長さ」が存在することは 誰も証明していません。ただ、そう仮定しただけです。 確か、「万物は有理数である」と主張した ピタゴラス学派は、その辺でひっかかっていた のだったと思います。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
二乗して 2 になる「数があるとしたら」そのような割り切れない数字になる。 ということです、一般的にそのような数が存在した方が都合がよい、という以上の理由はありません。
- kabaokaba
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そういうものだから といってしまえばそれまでなんだけど・・・ 数学では 「性質Aをみたすもの」 というのが存在すれば,当然「そうではないもの」 つまり, 「性質Aをみたさないもの」 というものを考えます. そして,「性質Aをみたさないもの」が存在しないのであれば そのことを証明しなければいけません. さて・・・「無理数」とは「有理数ではない数」ということであり さらに,有理数とは「分数で表せる数」です. けっして「割り切れる・割り切れない」(おそらく,有限小数=割り切れると あなたは言ってるのだと思いますが)ではありません. この段階で,間違えがあるのですが,そこは補正していきます. 有理数だけしか存在しないということは 無理数が存在しない,つまりどんな数でも必ず分数になるということを 証明しなければいけません. しかし,これは無駄です. 分数で表せる(有理数である)ということは 10進小数であらわす(割り算する)と 有限小数なるか・無限小数ではあるが桁の値が循環する循環小数になることが 容易に証明されます. しかし,「循環しない無限小数」は簡単につくれます. たとえば 0.01001000100001000001..... こんな風に,0の入り方を一つずつ増やせばいい こうするとこれは無理数です. ということで無理数は存在するのです. 実際は無理数の方が有理数の無限大倍(これは標語的な意味であり 決して「無限大倍」なんていう掛け算が存在するわけではない)存在します. 実数は「有理数」「無理数」に二種類があり (√2)は単に分数で表せないから無理数であるというだけです. 二乗して2になる数を地道に計算していったら いつまでたっても「割り切れない」というのは ちょっと実際に計算してみればすぐ実感できるので 紙と鉛筆で計算してみみましょう 数学的な証明も容易です.
- tadys
- ベストアンサー率40% (856/2135)
「√2 無理数 証明」で検索すれば説明がたくさん出てきます。 それを読んでも分からないのであれば、それのどこが分からないのか補足してください。
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