偏差値と全体に占める割合？

質問

学校や塾などが使う偏差値についての質問です。
偏差値が６０なら上位１０％に位置しており，
偏差値が４０なら上位１０％に位置していると聞きました。
ならば偏差値７０は上位何％に位置しているのでしょうか？
本人の素点，平均点，標準偏差が分かっていると仮定して，上位（下位）何％というのどのような式で計算できるのでしょうか？
素人ですので，分かりやすくお願いします。

回答No.7

noname#6201 · ベストアンサー

標準正規分布は平均が0分散が1の正規分布です。
したがって、正規分布にしたがっているデータは、平均を引き、標準偏差で割ると標準席分布に従います。
(得点－全体の平均)/全体の標準偏差
は標準化得点であり、元のデータが正規分布に従っていると考えられるとき、標準化得点(Z得点)は標準正規分布に従います。
偏差値は
　50＋10ｘ(得点－全体の平均)/全体の標準偏差
＝50＋10ｘ標準化得点
として算出しているので、標準偏差は標準化得点の10倍になります。

お礼

ありがとうございました。すごくよく分かりました。数学的な説明がよく分かり，すっきりした気分です。

回答No.6

noname#6201

uに関する確率を求めるExcelの関数はNormsdistです。
zが標準正規分布に従うとき(平均0、分散1)
Pr(z<u)が Normsdist(u)　です。
よって偏差値60以上は 1-Normsdist(1) で計算できます。
ちなみに、標準化していない場合はNormdistで計算できます。
Pr(x<a) がNormdist(a,平均,標準偏差,True)です。
ということで、偏差値60以上となる確率は
(偏差値は平均50、標準偏差10なので)
=1-Normdist(60,50,10,true)
で計算できます。

更に補足。逆（ある確率を与える値の計算）は
norminv, normsinv
です。

補足

早速Excelで計算してみました。おっしゃるとおりの結果になり，嬉しかったです。ありがとうございました。

ところで，標準正規分布と正規分布はどう違うのでしょうか？参考書によると，基本的には標準正規分布に従うと考えてよいといった趣旨のことが書いてありますが，それでよいのでしょうか？

それから，偏差値というのは平均点が偏差値５０になるようにしているから，平均５０は理解しましたが，標準偏差が１０というのが，イマイチ分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.5

Magician

＃１です。
参考ＵＲＬ漏れでした。

参考URL：

http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensachi.htm

回答No.4

t-aoba

(xの偏差値)=50+10(x-x')/√{(1/n)Σ_(i=1～n)(x_i-x')^2}
です。
ここで母集団は{x_1,x_2,x_3,…,x_n},
x'=Σ_(i=1～n)x_i/n　（平均値）

この式だけから「偏差値７０以上は上位何％」と言う事は出来ません。分布の仕方によって異なるからです。
ちなみに理論的には
-∞<(偏差値)<∞
です。
∵上の式でx_1=100,x_i=0(i≠1)とすると、
(x_1の偏差値)=…
=50+10√(n-1)→∞ (n→∞)
上の式でx_1=0,x_i=100(i≠1)とすると、
(x_1の偏差値)=…
=50-10√(n-1)→-∞ (n→∞)

回答No.3

BBblue

#2さんの参考URLの表で、ｕというのは
　　素点＝平均点＋ｕ×標準偏差
となるｕの値です。

ですから
　　（素点－平均点）÷ 標準偏差
を計算してその数に対応するところの数値を見てください。表の左側が小数第１位まで、上が第２位以降の数です。素点が平均以下ならマイナスになりますが無視して結構です。
それが上位（下位）何％かという値です。１００倍すれば％になります。

偏差値から求めるときは
（偏差値－50）÷10
がｕになります。

補足

非常によく分かりました。表の使い方も分かりました。ありがとうございます。
ところで，「ｕ」の値から表を見て調べるのではなくExcelの関数で「ｕ」を引数として与えたら，答えがでるような関数はないのでしょうか？分かったら教えてください。

回答No.2

ranx

計算は難しいです。
正規分布の数値表から値を拾うのが普通だと思います。
参考URLで、1.0が偏差値60、2.0が偏差値70に当ります。

参考URL：

http://www.hi-ho.ne.jp/f6586719/sb.html

回答No.1

Magician

偏差値60以上で上位10％なんて、感覚的にもおかしいな、と思い、調べてみました（参考ＵＲＬの一番下の表）。

偏差値70以上　上位　2.2％
偏差値65以上　上位　6.6％
偏差値60以上　上位　15.8％
偏差値55以上　上位　30.8％
偏差値50以上　上位　50%（当たり前か）

　あはは…、合っていますね。
　しかも、10％より多いし（笑）。
　私の感覚違いでした。

　参考にしていただければ幸いです。