極限値を求める問題です
よろしくお願いします。
以下の問題を解いていたのですが、いまいち自信がありません。
また、(3)の問題の解き方がどうしてもわかりません。
わかる方、ご指導のほど、よろしくお願いします。
【問題】
()内の関数の定積分と関連されることにより、次の極限値を求めよ、
(1) lim[n→∞] {(1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n)}
これを適用する→(1/1+x)
自分の答え
=lim[n→∞] (1/n){(1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + … + 1/(1+n/n)}
f(x)=1/(1+x), 1/n=hとおくと、
lim [n→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(nh))
∫[0→1] 1/(1+x) dx = [log(x+1)](0→1)
=log(2)-log(1)=log(2/1)=log(2)
(2) lim[n→∞] {(n/n^2 + n/(n^2+1^2)+…+n/(n^2+(n-1)^2)}
これを適用する→(1/(1+x^2))
自分の答え
各項を、n/(n^2+k^2)=1/(1+(k/n)^2)*1/n (k=0,1,…,(n-1))と表す。
次に、n→∞の極限に移行して、
lim [n→∞] Σ 1/(1+(k/n)^2)*1/n
=∫[0→1] 1/(1+x^2) dx = [arctan(x)](0→1)
=[arctan(1)]-[arctan(0)]=π/4-0=π/4
(3) lim[n→∞] 1/(n^(a+1)) Σ[k=1→n] k^a
これを適用する→(x^a (a>0))
自分の答え
???
以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます。