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絶対値？集合？ どうやって解くのかさっぱりです・・
受験用に数学の問題をしているんですが、以下の問題にお手上げ状態です。 まず、私の疑問点を挙げます。 ？１：絶対値をはずす時、どう考えたら条件で ｘ≦-2 がでてくるんでしょうか？絶対値の中が+2だからですか？ ？２：（２）は文章の意味もよくわかってないのが原因ですが、、、aの値の9/2はどうやって導かれたのでしょうか？？ ぜひ解説をおねがいします！！ 問題： ａを実数とし （ｘ+2）｜ｘ-1｜＝｜ｘ+2｜（ｘ-1）+a を満たす実数ｘの集合をSであらわす。 集合Sの要素の個数を調べるために、関数 ｆ（ｘ）＝（ｘ+2）｜ｘ-1｜-｜ｘ+2｜（ｘ-1） を考える。 （１）この関数は ｘ≦-2 のとき ｆ（ｘ）＝０ -2＜ｘ≦1 のとき ｆ（ｘ）＝-2ｘ＾2-2ｘ+4 １＜ｘ のとき ｆ（ｘ）＝0 である。 （２）よって、Sがただ１個の要素からなるようなaの値は a＝9/2 で、Sがちょうど２個の要素からなるようなaの値の範囲は 0＜a＜9/2 である。また、 a＝0 のとき、Sの要素は無数にある。その他のaの値に対しては、Sは空集合となる。
- GoyaY
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- mister_moonlight
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＞？１：絶対値をはずす時、どう考えたら条件で ｘ≦-2 がでてくるんでしょうか？絶対値の中が+2だからですか？ そうです。数直線を書いたら、わかるだろうか？ ＞aの値の9/2はどうやって導かれたのでしょうか a＝（ｘ+2）｜ｘ-1｜-｜ｘ+2｜（ｘ-1） と変形する。つまり、a＝ｆ（ｘ）だから、ｆ（ｘ）のグラフを書いてみるとわかりやすい。そこで、場合わけが発生する。 (1) ｘ≧1 の時、a＝ｆ（ｘ）＝（ｘ+2）(ｘ-1)-(ｘ+2)（ｘ-1）＝0 (2) -2≦x≦1 の時、a＝ｆ（ｘ）＝（ｘ+2）(-ｘ＋1)-(ｘ+2)（ｘ-1）＝-2(x＋1/2)＾2＋9/2 (3) x≦ー2の時、a＝ｆ（ｘ）＝（ｘ+2）(-ｘ＋1)＋(ｘ+2)（ｘ-1）＝0 以上の(1)～(3)までのグラフを書くと、y＝a (x軸に平行な直線) と y＝ｆ（ｘ）の交点の数を求めると良いから、模解のようになるのはすぐわかるだろう。 同時に、aの値の9/2の意味もすぐ理解できるだろう。
- nattocurry
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＞？１：絶対値をはずす時、どう考えたら条件で ｘ≦-2 がでてくるんでしょうか？絶対値の中が+2だからですか？ そのように、理由もわからず、絶対値の中が+2だから、とこじつけるのは良くありません。 この式には、|x-1|と|x+2|という、絶対値の部分が2か所あります。 なので、それぞれの絶対値の中身の正負によって、場合を分ける必要があります。 x-1≧0の場合とx-1＜0の場合、そして、x+2≧0の場合とx+2＜0の場合、です。 これは、言い方を換えると、x≧1の場合とx＜1の場合、そして、x≧-2の場合とx＜-2の場合。 まとめると、x＜-2の場合、-2≦x＜1の場合、1≦xの場合、となります。 結果的には、絶対値の中が+2だから、となりますが、そういう覚え方をすると応用が利かなくなるので、ちゃんと理由を理解しましょう。
- gohtraw
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絶対値の常套手段として、絶対値記号の中身が負の場合と０以上の場合に分けることが多いです。（１）の回答の場合分けはそれに由来します。 （ｘ+2）｜ｘ-1｜＝｜ｘ+2｜（ｘ-1）+a より ｆ（ｘ）＝ａ ・・・（ａ）ですから、 ｆ（ｘ）＝０の場合、ａ＝０であればｘの値に関わらず（ａ）は常に成り立ちます。つまりＳの要素が無限にあることになります。 一方ｆ（ｘ）＝０でａが０でない場合、（ａ）はいかなる場合にも成り立たないのでＳは空集合になります。 ｆ（ｘ）が０でない場合、ｆ（ｘ）＝－２ｘ＾２－２ｘ＋４＝ａ からｘの二次方程式ができます。 －２ｘ＾２－２ｘ＋４－ａ＝０ 判別式をとると ４＋４＊２＊（４－ａ）＝３６－８ａ これが０のとき、この二次方程式の解、つまりＳの要素は一つ、０より大きい時は二つあることになります。
補足
すみません、 ＞（ｘ+2）｜ｘ-1｜＝｜ｘ+2｜（ｘ-1）+a より ｆ（ｘ）＝ａ ・・・（ａ）ですから このあたりからもうついていけていません・・・、 ＞ｆ（ｘ）が０でない場合、ｆ（ｘ）＝－２ｘ＾２－２ｘ＋４＝ａ からｘの二次方程式ができます。 この ｆ（ｘ）＝－２ｘ＾２－２ｘ＋４＝ａ はどこから導かれたんでしょうか？？
1. f(x)の式中にある1つの絶対値記号の中がx+2=x-(-2)だからです。 2. 関数fの定義は(1)にあるとおりで、Sはaのfによる逆像、つまりf(x)=aとなるような実数xの集合。 fのグラフと、直線y=aとの交点のx座標が、Sの要素。 グラフを描いて、いろんなaの値について直線y=aを引いてみてください。
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