数学の質問です

質問

整式f(x)と g(x)の間にx^4f(x)=(x-1)g(x)という関係が成立する。f(x)は二次式であり、g(1)=1が成立する。このとき、g(x)-1が(x-1)^2で割り切れるとき、f(x)を求めよ。

よろしくおねがいします。

答え：)=-4x^2+9x-5

回答No.5

satoru9999

f(x)=ax^2+bx＋c　 (f(x)は２次式なのでa≠0)とおく。- (1)
x^4f(x)=(x-1)g(x)にx=1を代入すると、
f(1)=0 -(2)
(1)にx=1を代入すると、
f(1)=a+b+c
(2)より
a+b+c=0
c=-a-b -(3)
(3)を(1)に代入して整理すると、
f(x)=ax^2+bx-a-b
f(x)=a(x^2-1)+b(x-1)
f(x)=(x-1)(ax+a+b) -(4)

x≠1として、
x^4f(x)=(x-1)g(x)に(4)を代入してx-1で両辺を割ると
x^4(ax+a+b)=g(x) -(5)
x^4(ax+a+b)-1=g(x)-1
ax^5+(a+b)x^4-1=g(x)-1
h(x)を3次以下の関数として、g(x)-1=h(x)(x-1)^2とおけるので
ax^5+(a+b)x^4-1=h(x)(x-1)^2とおけるので代入して
ax^5+(a+b)x^4-1=（dx^3+ex^2+fx+g）(x^2-2x+1)
左右のx^5の係数の比較（ばらさなくてもわかるでしょう）より a=d
x^4の係数の比較よりe-2d=a+b
x^3の係数の比較よりf-2e+d=0
x^2の係数の比較よりg-2f+e=0
xの係数の比較よりf-2g=0
定数の比較よりg=-1。
あとは下から順に求めていくと。
f=-2
e=-3
d=a=-4
b=9

よってf(x)=-4x^2+9x-5（x≠1）
（ちなみにg(x)=-4x^5+5x^4）

このf(x)にx=1を代入するとf(1)=0となり、すべてのxに対して
f(x)が存在する。

よって　f(x)=-4x^2+9x-5

微分を使えばもっと早いですが、使わずにやってみました。

数学は２０年ぶりなので合っているか自信ないですが、参考にして
見てください。

お礼

回答ありがとうございます♪

２０年ぶりなのですか！？
それなのに解答できるなんて素晴らしいですね！
僕は現役なのに分かりませんでした、、、

数学の力が付くよう日々精進してまいります！