リンクが同時にクリックされる確率

質問

あるウェブサイトのひとつの記事内にN個のリンクがあるときに、複数のユーザにより
1秒間にN個の異なるリンクが同時に押される確率を求めたいです。

下記のとおり考えましたが、確率が苦手なので、正しい解答となっているか確認
して頂きたく投稿致しました。

（自分の回答）
1分間に100個のリンクが押されるという事実は分かっているものとする。
1分間に1つのリンクがクリックされる確率は、1/100　なので、
1秒ごとに考えると、ある1秒間（たとえば、00：00：01～00：00：02の1秒間）にN個のリンクが
同時に押される確率は、(1/100)^N　となる。　A^Nは，AのN乗を表す。
同様に，00：00：59～00：01：00までの各1秒間は同様の確率となるので、
1秒間にN個のリンクが同時に押される確率は60×(1/100)^Nとなる。

よろしくお願い致します。

回答No.1

Tofu-Yo · ベストアンサー

仮定が正確にわからないのですが、「１分間に必ずちょうど100回押される」という意味だと仮定としてあまり現実的でない気がします。しかし、「平均的に１分間に100回押される」という仮定ならポアソン分布という確率論で確立した考え方がありますから、そこがまずスタートだと思います。まずは「ポアソン分布」で検索してみてください。

実は求めたい確率も正確に理解できないのですが、時間は連続的なので全く同時に何かと何かが起こる確率は確率論的には0です。が、1秒という幅のある時間帯にちょうどN回起こる確率、ならポアソン分布で計算できます。

あとはこのとき、そのN回の1回1回でランダムに1/Nの確率で、N種類から1種類のリンクが選択されるという風に考えて、これが全部異なる確率を別途求めて(N!/N^Nかな？)、前述の1秒間にちょうどN回クリックが起きる確率に乗じる、というアプローチでどうでしょう？

うーん期待される回答になりましたでしょうか…

回答No.2

sphere_aki

ちょっと全体的によくわからなかったので見当外れの回答だったらごめんなさい。

＞1分間に1つのリンクがクリックされる確率は、1/100　なので、

N個のリンクのうちのある特定のひとつが1分間にクリックされる確率ですよね？
1/100ではありません。
正しくは1-((N-1)/N)^100となります。
冷静に考えればこの確率がNに依存する（Nが大きいほど小さくなる）のはわかりますよね？

＞1秒ごとに考えると、ある1秒間（たとえば、00：00：01～00：00：02の1秒間）にN個のリンクが
＞同時に押される確率は、(1/100)^N　となる。

なぜ突然1秒間の話になったのかがわかりません。
それと、複数の事象が同時に起こる確率がそれぞれの事象が起こる確率の積で求まるのはそれらの事象が独立であるときのみです。
つまり、1秒間にリンクAがクリックされる確率がP(A)、リンクBがクリックされる確率がP(B)であったとしても、1秒間に同時にリンクAとリンクBがクリックされる確率はP(A)×P(B)にはならないということです。（AがクリックされることとBがクリックされることは独立でないから）

＞同様に，00：00：59～00：01：00までの各1秒間は同様の確率となるので、
＞1秒間にN個のリンクが同時に押される確率は60×(1/100)^Nとなる。

ある事象が1秒間に起こる確率が求まった時に、それが1分間で起こる確率を求めるためには単純に60倍してもダメです。
さいころで1が出る確率が1/6として、6回振ったら1が一回以上出る確率は1になりますか？そんなわけないですよね。

この問題にちゃんと回答するためには任意の非負整数mについて1秒間にm個のリンクがクリックされる確率が与えられなければダメだと思います。（この確率をP(m)としましょう。これは1分間に押されるクリック数からは求まりません）
つぎに、1秒間にm個のリンクが押されると仮定したときにN個すべてのリンクが押される確率を求めます（これをQ(m)としましょう）
当たり前ですが、mがNより小さかったらQ(m)=0です。
mがN以上の時は、ややこしいですが計算すれば求まると思います。
このとき、求める確率はΣ[i=0 to ∞]P(m)Q(m)となります。