ランダムに発生する事象が同時に起こる確率について

質問

ランダムに発生する事象が同時に起こる確率の分布を算出する方法について教えて下さい。

例えば。。。

電球が(1)～(20)まで２０個あります。
それぞれの電球は１０秒間に１秒だけランダムに点灯します。
全電球の１０秒間における点灯パターンのうち、
・１個のみ点灯するパターンの発生確率
・２個同時に点灯するパターンの発生確率
　　　　　　　　　：
・２０個同時に点灯するパターンの発生確率

上記がどのような分布になるかを算出する方法を教えていただけないでしょうか。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

二項分布。

P(r)=nCr*p^r*(1-p)^(n-r)

n=20
r=0～20
p=1/10　(10秒に1秒)

r=2で最大か。

P(2)=20C2*(1/10)^2*(1-1/10)^(20-2)
=190*0.01*0.15009=0.28518

お礼

早々のご回答、ありがとうございました。
グラフにしたら、おそらくこのような曲線を描くだろうなという値になりました。
参考になりました。

回答No.3

noname#227064

曖昧な部分があります。

それぞれの電球は１０秒間に１秒だけランダムに点灯するとのことですが、次のどちらを意味しますか？
１．xは、0から9の整数で、x秒からx+1秒だけ点灯する。xは離散一様分布に従う。
２．xは、0から9の実数で、x秒からx+1秒だけ点灯する。xは連続一様分布に従う。

また、１０秒間における点灯パターンについてですが、例えば１の場合に次のように点灯したらどういうパターンに分類すればいいのでしょうか？

(1) 0秒から1秒まで点灯
(2) 1秒から2秒まで点灯
(3) 1秒から2秒まで点灯
(4) 2秒から3秒まで点灯
(5) 2秒から3秒まで点灯
(6) 2秒から3秒まで点灯
(7) 3秒から4秒まで点灯
(8) 3秒から4秒まで点灯
(9) 3秒から4秒まで点灯
(10) 3秒から4秒まで点灯
(11)-(20) 4秒から5秒まで点灯

この場合、1個同時に点灯、2個同時に点灯、3個同時に点灯、4個同時に点灯及び10個同時に点灯ということでそれぞれ計上して良いということでしょうか？
この場合
> ・１個のみ点灯するパターンの発生確率
> ・２個同時に点灯するパターンの発生確率
> 　　　　　　　　　：
> ・２０個同時に点灯するパターンの発生確率
の和が１になりませんがよろしいですか？

実際に計算するのは難しそうですね。

前のお二人の回答は、１の場合で特定の1秒間に限ってなら間違いではありません。
ただし、#1さんの回答にあるガウス分布というのは、それに近似できるということであって厳密にガウス分布になるわけではありません。

お礼

考慮が足りておらず申し訳ありません。

> １．xは、0から9の整数で、x秒からx+1秒だけ点灯する。xは離散一様分布に従う。
> ２．xは、0から9の実数で、x秒からx+1秒だけ点灯する。xは連続一様分布に従う。

１です。

>この場合、1個同時に点灯、2個同時に点灯、3個同時に点灯、4個同時に点灯及び10個同時に点灯ということ
>でそれぞれ計上して良いということでしょうか？

10秒間に同時に点灯する確率がどのような分布になるか知りたかったので、
想定としては、それぞれで計上と考えていましたが、こんがらがってきてしまったので、
自分でももう少し考えます。

アドバイスいただき、ありがとうございました。

回答No.1

shintaro-2

>上記がどのような分布になるかを算出する方法を教えていただけないでしょうか。

多分、10個同時点灯が最大で、1個、20個が最小のガウス分布になるでしょう。

相互に独立した確率なので、掛け合わせるだけです。

1個　No.1点灯×No.2非点灯×No.3非点灯・・・　　×20（点灯をNo.1からNo.20まで変えるため）
2個　No.1点灯×No2点灯×N0.3非点灯・・・・　×20C2（20個から2個選択する組み合わせだから）
以下同じ

お礼

早々のご回答、ありがとうございました。
参考になりました。