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∠の3等分の問題

2011/02/24 18:06

⊿ＡＢＣにおいて、∠Ａの3等分線と線分ＢＣとの交点ウィそれぞれＤ，Ｅとする。ＢＤ＝３、ＤＥ＝１，ＥＣ＝２であるとき問いに答え。１、Ｅから辺ＡＤに下した垂線の足をＦ，Ｅから辺ＡＣに下した垂線の足をＧとするとき、ＡＦ：ＦＤおよびＡＧ：ＧＣを求めよ２、∠ＢＡＣの大きさを、理由をつけて答えよ３、⊿ＡＢＣの面積を求教えてください。

mrbakadon
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数学・算数
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c_850871
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2011/02/24 21:07 回答No.1

質問者さんの学年がわからないので，とりあえず高校生という前提でお答えします． 1．2.だけお答えしますね．後は簡単なので． 3等分された一つの角度をθとしますと，△ABEと△AECの面積関係から BE:EC=(1/2)AB・AEsin2θ:(1/2)AC・AEsinθ ⇔BE:EC=AB(2sinθcosθ):ACsinθ ⇔BE:EC=2ABcosθ:AC ⇔4:2=2ABcosθ:AC ⇔AC=ABcosθ AB=3k とおくと AC=3kcosθ…(1) 【角の二等分線の定理】から AB:AE=BD:DE=3:1 なので AE=k…(2) ここで【△AFEと△AGEは合同】です． ∠FAE=∠GAE ∠AFE=∠AGE=90° AE共通で直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことから示せます．よって AF=AG…(3) さらに AD:AC=DE:EC=1:2 なので AD=AC/2…(4) (1)を(4)に代入すると AD=(3/2)kcosθ…(5) 直角三角形AFEにおいて AF=AEcosθ =kcosθ…(6) (5)(6)より AD:AF=(3/2)kcosθ:kcosθ =3:2 つまり AF:FD=2:1 AG:AC =kcosθ:3kcosθ ←(3)(6)より =1:3 なので AG:GC=1:2 2． 1．の結果から GC=2AG=2kcosθ FD=(1/2)kcosθ ここで直角三角形FDEにおける三平方の定理から DE^2=FD^2 +FE^2 ⇔1^2={(1/2)kcosθ}^2 + (ksinθ)^2…(7) 直角三角形GECにおける三平方の定理から EC^2=GC^2 +GE^2 ⇔2^2=(2kcosθ)^2 + (ksinθ)^2…(8) (8)-(7)より (15/4)(kcosθ)^2=3 これより kcosθ=2√5/5…(9) これを改めて(7)に代入すると FE^2=1 - 1/5=4/5 よって FE=2√5/5…(10) (6)(9)(10)より AF=FE なので【△AFEは直角二等辺三角形だとわかります】．ここまで出せばもう出来ますよね．後は頑張ってみてください．

質問者

お礼 2011/02/24 23:00

中三なのでわかりませんがありがとうございました。

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