慣性力と絶対座標

質問

加速している系では慣性力が現れるといいますが、何に対して加速している系でしょうか？

それとも、この考え方は絶対座標を認める考え方なのでしょうか？

また、一般相対性理論では重力を質点（＝エネルギー）による時空間の歪みとみなすようですが、慣性力も同等なのでしょうか？
その場合、何のエネルギーが時空間の歪みを作ると捉えられるのでしょうか？
自身が運動することによるエネルギーでしょうか？

でも自身から見たら自身は止まっているわけで…？？？？？？？？？？？？

ある有名な（？）サイトで測地線の方程式、重力場の式の意味をなんとなーく（笑）学んだのですが、、恥ずかしながら具体的なアイデアが謎のままです。まあ演習を何一つやっていないので当たり前といえば当たり前ですが…。

雑な質問で申し訳ありません。詳しい方、ご教授願います！

数式を絡めて定量的な事が見えるようになるまで話を発展させてくれると嬉しいなあ…（ぼそっ）

回答No.3

shiara · ベストアンサー

力の相対論的な考察から、力は、ポテンシャルによるものと、計量テンソルの座標微分によるものとがあることが分かります。この計量テンソルの座標微分によるものが慣性力です。慣性力が働いていない座標系が慣性系です。したがって、計量テンソルが定数である座標系が慣性系です。
さらに考察を進めると、計量テンソルが慣性力のポテンシャルとして振る舞うことが分かります。一般相対性理論では、慣性力と重力が同じポテンシャルであると仮定して、計量テンソルを重力ポテンシャルとしています。

お礼

簡潔でわかりやすい説明ありがとうございます！おかげで一般相対論の全貌がだいぶはっきりした気がします。

回答No.2

yokkun831

私の力の及ぶ範囲で部分的に回答します。

>アインシュタインの等価原理における“局所的に同等”とは何を意味するのでしょうか？

測地線に沿って自由運動（自由落下）する実験室は，局所的な慣性系といえると思います。それが局所的といわれるのは，実験室のせまい範囲では重力と慣性力が等しく逆向きなので重力が消去されているが，それを広域的に実現することは不可能であるということだと思います。たとえば潮汐力は領域を広げたために現れた重力と慣性力の差といえます。

>これと、リーマン曲面において座標の取り方によりある点での接続係数が０にできることはどのように関係しているのでしょうか？

あくまで「ある点で」というのが特徴だと思います。リーマン曲面は，局所的ミンコフスキー時空の細切れな切片を貼りあわせたものとして表現できるということではないでしょうか。そこに接続係数というものの意義があります。たとえば，国土地理院でつくっている５万分の１の地図を貼り合わせていくと，中央が盛り上がってきて，地球の曲率が姿を表しますが，あくまで１枚１枚は平面であるために接続部分にずれが生じて，その蓄積が近似的に球面を構成するわけです。この貼り合わせが接続係数の意義に他なりません。

>自由落下している人の座標系は、その都度書き換えなければその点での接続係数を０にできないようですが、それでは測地線の方程式もそのときの座標系で局所的（？）に成り立つものなのでしょうか？

測地線は，あくまでリーマン面上のものであって，局所慣性系においてはそれは直線に他なりません。広域的には局所慣性系の直線は，リーマン面からはみだしていく。それを補正するのが接続係数ということになるでしょう。

お礼

なんとなくわかってきました。特に、接続係数の物理的なイメージがわいてきました。ありがとうございます。

回答No.1

yokkun831

相対論では，慣性系の存在仮定をニュートン力学から引き継いでいます。

すなわち，ニュートンの運動の第一法則です。力を受けない物体が等速度運動をするような座標系があるということですね？　ニュートンにおいてはこれはまさに絶対静止系でした。しかし，ニュートンの運動法則自体がガリレイ変換（絶対静止系に対して等速度で運動する座標系への変換）において不変であることから，この絶対静止系が無数にあることになるという矛盾を含んでいたのです。

相対論は絶対静止系を不要のものとして投げ捨てましたが，慣性系の存在に対する仮定はそのまま引き継いだといってよいと思います。相対論においては，慣性系が無数に存在することを積極的に認めて，それらが全く同等であることを前提としているわけです（特殊相対性原理）。ローレンツ変換によって移れる慣性系が無数に存在すること自体，絶対静止系の否定といえます。しかし，慣性系が存在すること自体は絶対的なものとしているといってもいいでしょう。

慣性力は，その名前の通り非慣性系に移ったために現れた力であり，慣性系の平坦な時空に対して曲線座標を使った結果に他なりません。実際曲がっていないものを，曲がった尺度で測っている結果といえます。したがって，その「時空間の歪み」は質量やエネルギーの存在によって生じたものではありません。その証拠には，真の重力による歪みがなければ，非慣性系の時空に対しても曲率はゼロになるのです。

補足

お早い回答ありがとうございます。

では、慣性力は非慣性系で現れる力であって、時空間の歪みからでるものではないということですね。
すると、重力による力と慣性力には決定的な違いがある事になります。

では、アインシュタインの等価原理における“局所的に同等”とは何を意味するのでしょうか？
空間的な場所によって重力は値が変わるが、慣性力は変わらないという事でいいのでしょうか？

だとすれば、これと、リーマン曲面において座標の取り方によりある点での接続係数が０にできることはどのように関係しているのでしょうか？

自由落下している人の座標系は、その都度書き換えなければその点での接続係数を０にできないようですが、それでは測地線の方程式もそのときの座標系で局所的（？）に成り立つものなのでしょうか？

どうか、詳しい方、ご教授願います。