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角度が1/2になれば傾きも1/2
ひとつ確認したいことがあります。 タイトルどおりですが、2次関数のグラフを思い浮かべてください。たとえばy=3xという直線があります。x軸との角度が1/2になれば傾きも1/2のことが成り立つでしょうか?つまりy=3/2x。 中学生でもわかる証明する方法あるでしょうか?tangent使用OKです。
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>x軸との角度が1/2になれば傾きも1/2のことが成り立つでしょうか?つまりy=3/2x。 皆様が回答されたように、これの命題は成り立ちません。 ただ、 「x軸との角度Θ(rad)≒0の場合、傾きtanΘ≒sinΘ≒Θ」 の近似式は成立します。等号ではなくて≒であることが重要です。 ご質問のy=3xとy=3/2xでは、それぞれΘ≒1.25と0.98(それぞれrad)ですので、精度的にあまりいい近似ではないですね。 いっぽう、Θ=0.02rad,0.01radの場合の傾きtanΘ比は2.0002,0.1%の精度で成立します。工学の世界では「同じ」といって問題ないです。 純粋な数学の世界ではあまり役に立たない知識かもしれませんが、工学の世界では結構使う考え方ですし、手計算で概算が求められるので便利です。
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- fushigichan
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handmishさん、こんばんは。 >角度が1/2になれば傾きも1/2 には、ならないですね。残念ながら・・ >条件提示するのを忘れていました。 y=2xの場合のみに関してはどうでしょうか? では、この場合について考えてみましょうね。 y=2xというグラフは、点(1,2)を通ります。 この傾きが半分のグラフは y=xですが、このグラフは、点(1,1)を通ります。 さて、このグラフとx軸とのなす角度ですが (1,1)を通ることから、45°45°90°の二等辺三角形を思い出せば 角度は45°だとすぐに分かりますよね? 45°の倍は、90°ですよね? 90°というと、y軸になっちゃいますが y=2xというグラフは、y軸ではありません。 よって、傾きが倍になるからといって、x軸となす角度は倍にはならないんですね。 こんな説明でいかがでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。私の考え違えでした。
- ryn
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x軸とのなす角がθ, 2θ の直線の傾きはそれぞれ tanθ, tan(2θ) です。 ここで、角度が2倍になるときに傾きが2倍というのは tan(2θ) = 2tanθ が成り立つかどうかということになりますが、 0 < θ < π/4 の範囲でこの方程式を解くと 2tanθ/{1 - (tan)^2 } = 2tanθ ⇔ (tanθ)^3 = 0 となってしまい解を持ちません。
お礼
tanをもちいると簡単に証明できるのですね。そんな方法は知りませんでした。
- nigamushikun
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x軸との角度が45度ならば傾きは1。 x軸との角度が90のときの傾きは2であるかどうか? 答えは否。よって「角度が1/2になれば傾きも1/2」または「角度が2倍になれば傾きも2倍」は否定される。
お礼
回答ありがとうございます。 条件提示するのを忘れていました。 y=2xの場合のみに関してはどうでしょうか? もしくは第一しょうげん未満のみでは。。。これでもだめか。
- liar_adan
- ベストアンサー率48% (730/1515)
成り立ちません。 たとえば、y=√3/2・xという直線の傾きは√3/2で、 角度は60度ですが、 角度を2倍の120度にすると、、y=-√3/2・xになります。
お礼
回答ありがとうございます。 条件提示するのを忘れていました。 y=2xの場合に関してはどうでしょうか? もしくは第一しょうげんのみでは。。。これでもだめか。
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すばらしいアイデアですね。こういった肯定的な回答も頂けると助かります。理論を実証するのって難しいですね。