解析学

質問

まったく説き方がわかりません。どなたか、ご教授お願いできないでしょうか。

詳しく解説いただくと幸いです。

回答No.1

muturajcp

(1)
(1)
y=log√{(x^2+1)/(x-1)}
t=(x^2+1)/(x-1)
y=log√t=log(t^{1/2})
y'=t^{-1/2}(1/2)t^{-1/2}t'=(1/2)t^{-1}t'
t'={2x/(x-1)}-{(x^2+1)/(x-1)^2}=(x^2-2x-1)/(x-1)^2
y'=(1/2){(x-1)/(x^2+1)}[(x^2-2x-1)/(x-1)^2]
y'=(x^2-2x-1)/{2(x-1)(x^2+1)}
(2)
y=√(1+sinx)
y'=cosx/{2√(1+sinx)}
(3)
y=arctan√{(1-x)/(1+x)}
(1+x)(tany)^2=(1-x)
(tany)^2+2(1+x)(tany)y'/(cosy)^2=-1
(siny)^2+2(1+x)(tany)y'=-(cosy)^2
2(1+x)(tany)y'=-1
2(1+x)[√{(1-x)/(1+x)}]y'=-1
2{√(1-x^2)}y'=-1
y'=-1/{2√(1-x^2)}
(2)
(1)
f(x)=x^4-4x^3+16x
f'(x)=4x^3-12x^2+16=4(x-2)^2(x+1)
x<-1のときf'(x)<0だからf(x)単調減少
-1<x<2のときf'(x)>0だからf(x)単調増加
2<xのときf'(x)>0だからf(x)単調増加
最小値f(-1)=-11
(2)
g(x)=x√(2x-x^2)
0≦x≦2
g'(x)=x(3-2x)/√(2x-x^2)
0<x<3/2のときg'(x)>0だからg(x)単調増加
3/2<x<2のときg'(x)<0だからg(x)単調減少
最小値g(0)=g(2)=0
最大値g(3/2)=(3√3)/4
(3)
a∈I開区間
x∈I,x≠a,f(x)≦h(x)≦g(x)
lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}g(x)=α∈R
∀ε>0→∃δ
0<|x-a|<δ
→max(|f(x)-α|,|g(x)-α|)<ε
→α-ε<f(x)≦h(x)≦g(x)<α+ε
→|h(x)-α|)<ε
→lim_{x→a}h(a)=α

お礼

ありがとうございます。大変助かりました。
また、何かあったらお願いしますm(__)m