正規分布の母平均が既知、標準偏差が増加か一定のとき

質問

正規分布の母平均が既知(可変)で、標準偏差が平均に対して増加関数である時、
（確率変数X,Yの密度関数がそれぞれｆX,fY で与えられる）
ｆx(ｘ)/ｆY(x)　>= ｆx(ｙ)/ｆY(y)　　--(1)
を満たすことを証明するにはどのような方法がありますでしょうか。
数値計算よりも理論的に検証したいです。

また、母平均は既知で可変、標準偏差が一定の時も上記の関係(1式)を満たすかどうかも調べたいです。
どのように式展開をすればよいか教えてください。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

fXとfYは正規分布の確率密度関数ということですね。
fX(x) = (2πb^2)^(-1/2) e^{-(x-a)^2/(2b^2)}
fY(y) = (2πd^2)^(-1/2) e^{-(y-c)^2/(2d^2)}
とすると、不等式(1)は
(x-y){(b^2-d^2)(x+y)-2(cb^2-ad^2)} >= 0　　　(2)
に変形できます。
（私が計算間違いをしていなければですが）

(2)から、x-y > 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) >= 2(cb^2-ad^2)
x-y < 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) <= 2(cb^2-ad^2)
をそれぞれ満たせば良いことがわかりますが、x,yの値によっては不等式を満たさない場合があります。

他に条件はないのでしょうか？