数学の質問です

質問

曲線y=x^2 上に点A（1.1）と、動点Pがある。この曲線と直線APおよびx軸が囲む図形の面積S1と、この曲線と線分APが囲む図形の面積S2が等しくなるような直線APの傾きmを求めよ。

という問題で、P(p.p^2)とおいて、直線APの式をy=(1+p)x -p　と表しました。

y=0のとき、x= p / 1+p　となることも分かり、

-1<p<0 のとき、p<-1のとき、1>p>0のとき、　p>1のとき、とで場合分けして考える必要があるのかなとも思いましたが…。

最初の場合分けの、積分での計算で、

S1=S2= 2p^4 -4p^3 +2p -1 =0
と、四次式がでてきてしまって、解くことができません！
（因数定理も使えませんでした。）

どのようにすればよかったのでしょうか？どなたかご教授のほど、よろしくお願い致します。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞S1=S2= 2p^4 -4p^3 +2p -1 =0
＞と、四次式がでてきてしまって、解くことができません！

　S1,S2の計算はどうなりましたか？
　どうもそこまでの課程で符号などの計算ミスがあるように思います。

　私も計算してみましたが　-1<p<0 のとき　次のようになるかと思います。

　　S1=(p^4-2p^3-2p^2)/{6(1+p)}
　　S2=(1-p)^3/6

　ここで、S1=S2 ですので、
　　　(p^4-2p^3-2p^2)/{6(1+p)} = (1-p)^3/6
　　⇔p^4-2p^3-2p^2=p^4-2p^3+2p-1　　　　・・・・・(1)
　　⇔2p^2+2p-1=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←　2次方程式
　　∴p=(-1+√3)/2　　　（∵ -1<p<0）

　高校数学の範囲でしたら4次方程式は上手く避けるように問題が作られていると思うのですが。

　私が計算ミスをしているかもしれませんが、よろしければ参考にしてください。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

hiro_kim

No.1です。

y=x^2を0からpまで積分すると1/3*p^3
y=(1+p)x-pをp/(1+p)からｐまで積分する（ぶっちゃけて、三角形の面積を求める）と1/2*{p^2/(1+p)}*p^2

この二つは等しいので、1/3*p^3=1/2*{p^2/(1+p)}*p^2

整理するとp=2
p>1の条件下で矛盾はないので、pのとりうる値のひとつは2である。

勘違いや計算間違いがあったらごめんなさい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

hiro_kim

まずｐ＞１で作図してください。
S1とS2が等しいと、y=x^2を0からpまで積分したものとy=(1+p)x-pをp/1+pからｐまで積分したものが等しくなることがわかりますか。

お礼

ありがとうございました！