システム科学の問題なのですが・・・

質問

システム科学の問題なのですが・・あまりよくできなくて困ってます。
解き方と答えをできるだけわかりやすく教えていただけないでしょうか?

問1.一方通行のある道路で、車が通行する様子を観察した。その結果、車が観察地点を通過する確率は、時刻に無関係で、時間の長さのみ関係し、⊿t秒間に一台の車が通過する確率はλ⊿t(λは定数)であった。t秒間にn台の車が通過する確率をPn(t)として、以下の問いに答えなさい。ただし、道路は一直線で、⊿t秒間に二台以上の車が通過する確率は無視できる。

(1)t+⊿t秒間にn台の車が通過する確率Pn(t+⊿t)を、Pn-1(t)、Pn(t)、λ、⊿tの式で表せ。

(2)(1)の式を変形し⊿t→0の極限をとり、Pn-1(t)、Pn(t)が従う微分方程式を求めよ。

(3)P0(t)が従う微分方程式を求め、それを解いてP0(t)を求めよ。ただし、観察開始時刻をt=0とし、そのときにはまだ一台の車も通過していないものとする。

(4)P1(t)、P2(t)、P3（t）、P4(t)を順に求めよ。

どうか、よろしくお願いします・・・。

回答No.1

Mr_Holland

(1)　(t+⊿t)秒間にn台通過する確率P[n](t+⊿t) は t秒間にn台通過してt～t+⊿tの間に1台も通過しない確率と　t秒間に(n-1)台通過してt～t+⊿tの間に1台通過する確率の和に等しいので
　　P[n](t+⊿t)=P[n](1-λ⊿t) +P[n-1](t)λ⊿t

(2)　設問(1)で得た漸化式を変形して
　　P[n-1](t)-P[n](t)=(1/λ) {P[n](t+⊿t)-P[n](t)}/⊿t
となるので、⊿t→0　の極限をとると左辺は微分の形になって
　　P[n-1](t)-P[n](t)=(1/λ) P'[n](t)
　∴P'[n](t)+λP[n](t)=P[n-1](t)

(3)　題意からP[-1](t)=0 なので、n=0のとき　設問(2)で得た微分方程式は
　　P'[0](t)+λP[0](t)=0
　変数分離形で一般解を求めると　P[0](t)=C0*exp(-λt)
　題意から初期条件　P[0](0)=1 なので　C0=1
　∴P[0](t)=exp(-λt)

(4)　n=1のとき設問(2)で得た微分方程式に設問(3)で得たP[0](t)を代入して
　　P'[1](t)+λP[1](t)=exp(-λt)
　この微分方程式の特解は λt*exp(-λt) で
　同次方程式の一般解は設問(3)と同様の変形分離形で C1*exp(-λt) となるので
　非同次方程式の一般解は　P[1](t)=C1*exp(-λt)+λt*exp(-λt)
　題意から初期条件　P[1](0)=0 なので　C1=0
　∴P[1](t)=λt*exp(-λt)

　以下、同様に微分方程式を解けば
　　P[2](t)=λt^2/2*exp(-λt), P[3](t)=λt^3/6*exp(-λt), P[4](t)=λt^4/24*exp(-λt),
と求められます。

　ちなみに、P[2](t),P[3](t),P[4](t) は次のように一般化しても求められます。（この方が楽かも。）
　P[n](t)についての微分方程式の右辺（非同次項）が λt^(n-1)/(n-1)!*exp(-λt) のとき　初期条件がP[n](0)=0 であることに注意すれば同次方程式の一般解の係数が0になり　数学的帰納法により　非同次方程式の特解である
　　P[n](t) =λt^n/n!*exp(-λt)
が解であることが示されます。