等比級数の和を応用した式を用いて、条件を満たす値を計算できるか
- 自力で考えた式を使用して、条件を満たす値を計算する方法を模索中
- 等比級数の和を応用して計算を試みたが、条件を満たす値が収束しない
- 数日間悩んでいるが、解決策が見つからず困っている。ヒントを求める
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自力で色々と考えてみたのですが、どうしても納得のいく答えが出せずかなり
自力で色々と考えてみたのですが、どうしても納得のいく答えが出せずかなり困っています。皆様のお知恵を拝借できればと思い投稿させていただきました。 Kp(a)= 1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3) と定めるとき、0<a<1の条件で Σ(p=0 → ∞) Kp(a)をaを使った式で表せ、 という問題なのですが、等比数列の和を求める方式を応用し、以下のように計算してみました。 Kn(a) = (a^3)/3 + (a^4)/8 + (a^5)/15 + ・・・ + {a^(n-1+3)}/(n-1+1)(n-1+3) + {a^(n+3)}/(n+1)(n+3) ・・・(1) {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) * Kn(a) = (a^4)/8 + (a^5)/15 + ・・・ + {a^(n-1+3)}/(n-1+1)(n-1+3) * {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) + {a^(n+3)}/(n+1)(n+3) * {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) ・・・(2) この式は計算すると分かりますが、各項の分母はnに応じて変化するため、そのままでは等比級数の和を求めるやり方が適用できません。そこで、分母をそろえるために{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4)を両辺に掛けたものを用意しました。 (1) - (2)を行うと {1-{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4)} Kn(a) = (a^3)/3 - {a^(n+4)}/(n+2)(n+4) となると思うのですが、実際に0<a<1となる値を代入して適宜pを変えて計算すると収束しているように見えません。 ここ数日ずっと悩んでるのですが、糸口が掴めず困っております。 どなたかヒントでも構いませんので、ご教授いただければ幸いです。 以上宜しくお願い致します。
- rafylis
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思いつくのは大変だと思うが Σ(p=0 → ∞) Kp(a)の値は f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2,として a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-f'(0)-f''(0)/2)である。 つまりこれを計算して{2(1-a^2)log(1-a)+2a+a^2}/4 となる。 (計算間違いしている可能性があるかも) 君のやったやり方とはまったり違うが、知っておいた方がいいかもしれない。 実はテイラー展開を用いてできる。(ここから説明) f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2とおく。(ここがかなりのテクニックを要した) f'(0)=a/2 f''(0)=(a^2)/2 f'''(0)=a^3 f^4(0)=3a^4 ・・・・・・ f^(p+1)(0)=(p!a^(p+1))/2, f^(p+3)(0)= ((p+2)!a^(p+3))/2 f(x)をx=0のまわりでテイラー展開(マクロリーン展開)をして f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)x^2)/2!+・・・・・+(f^(p+1)(0)x^(p+1))/(p+1)! +・・・+(f^(p+3)(0)x^(p+3))(p+3)!+・・・・・・・ ここでx=1としてうまくまとめると f(1)=f(0)+{a+a^2/2+a^3/3・・・・+a^(p+3)/p+3+・・・・・}/2 ・・・・・(ア) a^2f(1)=a^2f(0)+{a^3+a^4/2+・・・・+a^(p+3)/p+1+・・・・}/2 ・・・・・・(イ) また Kp(a)=1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3)=a^(p+3){(1/p+1)-(1/p+3)}/2より Σ(p=0 → ∞) Kp(a) =Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+1)-Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+3) (イ)より Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+1)=a^2(f(1)-f(0)) (ア)より Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+3)=f(1)-f(0)-(a+a^2/2)/2 したがって Σ(p=0 → ∞) Kp(a) =a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-(a+a^2/2)/2) 君のやっていることとは反れてしまっているが、他の回答者からのヒントをもらってやってくれ。 ここでは違う方法でもできることを述べてみた。
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- Tacosan
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絶対収束することを確認して微分するとか.
- Mr_Holland
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Kp(a)= 1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3) を部分分数分解して整理すると、Σ[p=0→∞] Kp(a)はつぎのように表せます。 Σ[p=0→∞] Kp(a) =(1/2)Σ[p=0→∞] a^(p+3) {1/(p+1)-3/(p+3)} =(1/2){a^2 Σ[p=1→∞] a^p/p -Σ[p=3→∞] a^p/p} =(1/2){(a^2-1)Σ[p=1→∞] a^p/p +a+a^2/2} =(1/2){(a^2-1)log{1/(1-a) +a+a^2/2} (∵ log{1/(1-a)}=Σ[p=1→∞]a^p/p )
お礼
ありがとうございます。 出発点から間違っていたようなので、この内容を手がかりにして解いてみたいと思います。
- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
もう一度冷静に考えてみてください。 (1)の両辺に {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) をかけても(2)にはなりませんよ。 nは定数なんですから、たとえば (a^3)/3 に {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) をかけたら、 a^4/3*(n+1)(n+3)/(n+2)(n+4) になるだけで、 a^4/4 にはなりません。
お礼
仰るとおりですね。 完全に勘違いしていたようです。 ご指摘ありがとうございました。
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