12^10 の桁数はどれか？

質問

12^10 の桁数はどれか？
なお、log10 2 = 0.3010
log10 3 = 0.4771 である。

どの様に解くのでしょうか？
すっかり忘れてしまっているので、丁寧に教えて頂けると助かります。

回答No.6

BookerL · ベストアンサー

＃３です。ずいぶん日がたちましたが、まだ解決マークがついていないので、一応質問に答えます。

＞12^10 は 10^10 と 10^11 の間の数です。
＞ここからが、解りません。

log 12^10 ＝ 10.791

が出てくるところの計算はいいでしょうか。

log 10^10 ＝ 10 、log 10^11 ＝ 11 もいいですね？

10.791 は 10 と 11 の間の数なので、log 12^10 は log 10^10 と log 10^11 の間の数です。

log は単調関数なので、log 12^10 が log 10^10 と log 10^11 の間の数ならば、12^10 は 10^10 と 10^11 の間の数になります。

回答No.5

OKXavier

数字と桁の関係が理解できていないようですね。

10^10≦12^10＜10^11　と表せることは他の回答者が示しているので、
数字と桁の関係を詳しく説明します。

10≦x＜100　を満たす数は、10以上で100未満ですから、
xが整数ならば、10,11,12,13,14,‥‥,98,99
で２桁の数です。
したがって、10≦x＜10^2　を満たす数は２桁。‥‥(1)

100≦x＜1000　を満たす数は、100以上で1000未満ですから、
xが整数ならば、100,101,102,103,104,‥‥,998,999
で３桁の数です。
したがって、10^2≦x＜10^3　を満たす数は３桁。‥‥(2)

同様に、1000≦x＜10000　なら、
1000,1001,1002,‥‥,9998,9999
で４桁の数。
したがって、10^3≦x＜10^4 ならば４桁。‥(3)‥

ここで、(1)(2)(3)式をながめて、指数と桁数の関係をみると、
右側の大きい方の10^n　のnが桁数と一致していることに気づく筈です。

したがって、10^10≦12^10＜10^11
なので、12^10は、一番右の項が 10^11 なので、１１桁の数であることが分かります。

回答No.4

sak_sak

底は省略します(全て10です)。

log(12^10)=10.791
log(10^10)=10×log10=10×1=10
log(10^11)=11×log10=11×1=11
よって、log(10^10)<log(12^10)<log(10^11)
∴10^10<12^10<10^11

10^2は100ですから、3桁の整数で最も小さいものですね?
10^3は1000ですから、4桁の整数で最も小さいものですね?
となれば、10^10は11桁の整数で最も小さいものであることは予想できますね?

回答No.3

BookerL

12^10 の常用対数を取ります。以下、対数の底は 10 です。

log 12^10

＝10 log 12

＝10 log 4　＋　10 log 3

＝20 log 2　＋　10 log 3

＝20×0.3010　＋　10×0.4771

＝10.791

となります。

log 10^10 ＝ 10 、log 10^11 ＝ 11 なので、12^10 は 10^10 と 10^11 の間の数です。

10^10 以上で１１桁になり、10^11 以上で１２桁になるので、12^10 は １１桁の数です。

お礼

log 10^10 ＝ 10 、log 10^11 ＝ 11 なので、12^10 は 10^10 と 10^11 の間の数です。

10^10 以上で１１桁になり、10^11 以上で１２桁になるので、12^10 は １１桁の数です

12^10 は 10^10 と 10^11 の間の数です。
ここからが、解りません。
もう少し教えて頂けるでしょうか？

回答No.2

Knotopolog

12^10 ＝ 61917364224

なので，12^10 の桁数は１１桁です．

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

12^10が 10の何乗になるかがわかればいいですよね。
ということを式にしていくのですが・・・、ややこしいですね。＾＾

まず、10^2＝ 100、10^3＝ 1000などということを見ていくと、10^nは n+1ケタの数になることがわかると思います。
これを頭に入れておいて、
10^n≦ 12^10＜ 10^(n+1)　（12^10はあるケタの頭から次のケタまでの間にあると考える）

であるとします。

両辺の対数をとると（対数の底を[]で表すとして）
log[10](10^n)≦ log[10](12^10)＜ log[10](10^(n+1))

となります。

あとは、対数の計算規則を用います。
いま使う規則は以下の 2つぐらいです。
log[p](ab)＝ log[p](a)+ log[p](b)
log[p](a^n)＝ n* log[p](a)
log[p](p)＝ 1

log[10](2)や log[10](3)の値を利用して、nを求めます。
最後に答えのケタ数は、nに +1しないといけないので注意してください。