大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもとで２つの

質問

大学の力学で次の様なレポート課題が出ました。 ”万有引力のもとで２つの質点が周期τで互いに円運動をしている。ある瞬間に２つの質点を止め、次に放すと２つの質点は時間τ/４√２後に衝突することを示せ”という問題です。お手上げ状態です。出来るだけ分かり易く教えてください。お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

途中の煩雑な計算過程は省略し，概略のみ示します。

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まずは円運動。

２質点間の距離をr0，質量をM，mとおきます。
換算質量μ= Mm/(M+m)として，円運動の方程式は，

μ・r0(2π/τ)^2 = GMm/r0^2
（質点個別に立ててもこの式に帰着します）
∴　τ = 2πr0^(3/2)/√{G(M+m)}
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次に後半の接近。

２質点間の距離をr(t)，r(0)=r0として，運動時間を求めます。

エネルギー保存は

1/2 μr'^2 - GMm/r = -GMm/r0　ただし，r'=dr/dt
（質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着します）

整理すると，

dr/dt = -√{ 2G(M+m)(1/r - 1/r0) }

求める時間Tは，

T = 1/√{2G(M+m)}×I，I = ∫[0～r0]dr/√(1/r - 1/r0)

積分Iを計算します。u=√(1/r - 1/r0)　とおくと，
I = 2∫[0～∞]du/(u^2 + 1/r0)^2
さらに，u = tanθ/√r0　とおくと，
I = 2r0^(3/2)∫[0～π/2]cos^2θdθ = πr0^(3/2)/2

したがって，

T = πr0^(3/2)/[ 2√{2G(M+m)} ] = τ/(4√2)

を得ます。

お礼

ありがとうございます。
示して頂いた内容は、とても複雑だなぁと感じています。もし、回答して頂けていなかったら・・・どうなっていたことやら。
本当に感謝しています。もしかしたら、補足のようなかたちで質問するかもしれませんがその際はよろしくお願いします。

補足

μ・r0(2π/τ)^2 = GMm/r0^2
　　　　　　↓
τ = 2πr0^(3/2)/√{G(M+m)}
この部分の計算をもう少し詳しく教えて頂けませんでしょうか。

回答No.2

yokkun831

μ・r0(2π/τ)^2 = GMm/r0^2
　　　　　　↓
(2π/τ)^2 = GMm/(μr0^3)
2π/τ = √{G(M+m)/r0^3}
　　　　　　↓
τ = 2πr0^(3/2)/√{G(M+m)}

このくらいでいかがでしょう？