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100!は何桁か。

100!は何桁か。 (筆記用具のみ) 計算がややこしくてわかりません。

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.3

#2の者です。 lnは自然対数です。(つまり、底がeの対数です) ある数の常用対数(底が10の対数)をとると、その数の(10進法での)桁数がわかります。 n≦log10(X)<n+1 となるXの桁数はn+1になります。 例)X=1000とすると、 3≦log10(1000)<4 より、4桁 一応積分計算を詳しく書くと、 log10(100!) ≒∫[1,100]log10(x)dx =∫[1,100]{ln(x)}/{ln(10)}dx(底の変換公式より) =1/{ln(10)}*[{100*ln(100)-1*ln(1)}-∫[1,100]dx](部分積分で計算) ={100*ln(100)-99}/{ln(10)} ≒157.005 です。 ln(100)とln(10)の値がわからないといけないので、厳密には筆記用具だけでは解けていないと言われても仕方ないかもしれません。

その他の回答 (4)

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.5

わざわざ、問題文に『筆記用具のみ』とヒントが書いてあるでしょう?

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.4

いちおうアドバイスすると、これは対数の問題ではなくて、割り算の問題です。

cockpit
質問者

補足

157≦(100ln100-99)/ln10<ln10(100!) であっても ln10(100!)<158 が言えないので159桁以上の可能性があると思います。まず (100ln100-99)/ln10-157=200-99/ln10-157 =43-99/ln10≧0 を示したいです。

回答No.2

関数電卓か自然対数表を使っていいなら……。 スターリングの公式を援用して、 log10(100!)≒∫[1,100]log10(x)dx={100*ln(100)-99}/{ln(10)}≒157.005 より、158桁。

cockpit
質問者

補足

(100ln100-99)/ln10 ≒157.005 がわかりません。 また158桁になるのもわかりません。

  • lmint
  • ベストアンサー率24% (183/738)
回答No.1

3桁

cockpit
質問者

補足

100ビックリ。 じゃなくて 100の階乗です。

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