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f(x) が |f(x)|≦ｘ^2（xの二乗）であるとき f′(0)
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まず、 |f(x)| ≦ x^2 -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2 より、 f(0) = 0 です。 ここから平均値の定理を用います。 平均値の定理とは、 f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c) が成り立つ。 ってやつですね。 区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c) f(x)/x = f'(c) (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x -x ≦ f'(c) ≦ x ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より f'(0) = 0 補足、 上に書いたのは[0,x]を考えているのでx>0の場合です。 つまり右極限lim[c→+0]{f'(c)}しか考えていないので、区間[x,0]で考えた場合も同様に証明しといた方がいいかもしれません。 また、平均値の定理を使うためf(x)を[0,x]で微分可能と仮定しています。そもそもこの仮定が成り立つかどうか、成り立たない場合にはどうか、別に考える必要があります。
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- koko_u_u
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「考察」という日本語の意味はわかりますか？
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回答ありがとうございます。平均値の定理が思いつきませんでした…。参考にさせて頂きます。