マナー違反かもしれない(-_-;)

質問

y=3x《2》+x-4の計算を教えてください。
解答は平方完成をした状態でお願いします。
２乗が出ないので《２》にしました。
やり方がいまいちわからないんでどうぞお願いしますm(_ _)m

回答No.3

ticky · ベストアンサー

なるほど。

y＝3(x＋(1/6))^2－49/12

この式は、（-1/6,-49/12）を頂点とする、放物線だというのはおわかりですよね。

この放物線をｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２平行移動させるということは、頂点を移動させるだけでよい（他の部分も一緒に移動する）ので、頂点が（-1/6＋1, -49/12－2）（＝(5/6,-73/12)）である式に直せばいいのです。

式で考えるなら、
y＝3(x＋(1/6))^2－49/12
＝3(x－(-1/6))^2＋(-49/12)
この式を直して、
y＝3(x－(-1/6＋1))^2＋(-49/12－2)
＝3(x－(5/6))^2＋(-73/12)
となります。

回答No.6

fushigichan

junziさん、こんばんは。
平方完成までは、やり方が出ていますが

y=3x^2+x-4
=3(x^2+x/3)-4
=3{(x+1/6)^2-(1/6)^2}-4
=3(x+1/6)^2-1/12-4
=3(x+1/6)^2-49/12

これは、頂点(-1/6,-49/12)、下に凸の放物線になります。
このグラフを
＞3(x＋(1/6))^2－49/12 」からｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２平行移動した放物線の方程式です。

x軸方向に１、y軸方向にー２平行移動するということは、
x→x+1
y→y-2
のように、すべての点をうつすということです。

今、xの移ったさきをX
yの移ったさきをYとしましょう。
(x,y)→(X,Y)
とすると、求めたいのは、(X,Y)の満たす方程式ですね。

x+1=Xとおいたので、x=X-1
y-2=Yとおいたので、y=Y+2

(x,y)は
y=3(x+1/6)^2-49/12
を満たしていますから、これに代入します。

(Y+2)=3{(X-1)+1/6}^2-49/12
Y=3(X-5/6)^2-49/12-2
Y=3(X-5/6)^2-73/12

これは、頂点(5/6,-73/12)下に凸の放物線になっています。

もっと簡単に解くには、＃３さんのように
頂点のみをx軸方向に１、y軸方向にー２だけ平行移動すると、
(-1/6,-49/12)→(5/6,-73/12)
のように移りますから、その他の点も同様に移ると考えて

y=3(x+5/6)^2-73/12

のようにぱっと求めることもできます。
頑張ってください。

回答No.5

springside

要するに、「y=3x^2+x-4をx軸方向に1、y軸方向に-2移動する」ということなんですね。
移動した後の曲線の方程式は、

【元の式のxにx-1を代入し、yにy-(-2)を代入する】

という操作をすればよいので、

y-(-2)=3(x-1)^2+(x-1)-4

となります。後はこれを変形して、

y=3(x^2-2x+1)+ x-5 -2
=3x^2-5x-4
=3{x^2-(5/3)x}-4
=3{(x-5/6)^2-25/36}-4
=3(x-5/6)^2-25/12-4
=3(x-5/6)^2-73/12

ということですね。

上記【】にありますが、「x軸方向にa、y軸方向にb移動させる」ということは、「元の式のxにx-aを代入し、yにy-bを代入する」ことによって得られます。

回答No.4

noname#6248

家庭教師時代に役に立った学校で教えない方法で解きますので心してくださいな。
二次関数の問題で覚えるべき事は一つだけ。『放物線を書けるようにこねくり回せ！』です。
覚える式は一つだけです。
　x=(-b±√(b×b-4×a×c))/(2a)←abcは何であるかは教科書を見てください…
…b×bはｂの二乗と覚えされられたかな…
さらに覚えるのは『二次関数のグラフは放物線である。』と言う事
何が言いたいかといえば、一見複雑そうに見えても
『書く場所が違う』または『縦横の伸び縮みがある』実はそれだけなんです。
『さらに』と言いつつも言ってる事は単純でしょ？

では始めます。

今回求めるものは『平方完成』です。でも放物線をきちんと図に書ければ終わりです。
y=3x《2》+x-4このときのyを無視して簡単に０としましょうか。
x=(-b±√(b×b-4×a×c))/(2a)を計算してみます。
x=1と-4/3ですね。
放物線をイメージしてみてください。
xが1の時と-4/3の時にy=0のx軸に交わるんです。
その放物線の頂点はどこでしょう？１と-4/3の中間点です(どんな放物線でも左右対称ですから中間で良いわけ)
と言う事で頂点のx座標は二つの答えの平均を求めれば良いんですね。(3/3-4/3)/2＝－１／６です。

次にｘにとんでもなく大きな数を入れてみましょう。∞になりますか？それとも－∞になりますか？
今回の場合は『∞』になりますね。ですから下に凸(要はＶ字型の放物線)なわけです。

さぁ他には何をすれば良いでしょう？頂点は解りました、下に凸と言うこともわかりました。
でも放物線は書けませんよね？どうすれば良いか…
そう！『縦横の伸び縮み』が解れば書けるんです。
便利な事に『y=x《2》』と言う放物線は(-1,0)と(0,0)と(1,1)を通ります。
ですから頂点を基準に、ｘが１増えた時(場合によっては１減った時)を考えてみます。
頂点のｘ座標は－１／６です。その時のｙはいくつでしょう？
y=3x《2》+x-4　これに入れれば出ますね
ｙ＝-49/12です。
次にｘが頂点から１ずれたらｙはどれぐらいずれるでしょう？
ｘが５／６(－１／６＋１)の時のｙを調べる…
ｙ＝-13/12です。
-49/12→-13/12これだけひねくれた放物線となるわけです。(頂点の所と１ずれた所)
ｘが１増えたら36/12(つまり３増えるやつ)となるわけです。
つまりこの放物線は『y=x《2》』なら便利なのに、頂点のｘ座標は－１／６にあって、
縦横比は３倍伸びや奴と言うことなんです。
つまり『ｙ＝３ｘの二乗』と合同(全く同じ)と言う事なんです。
でこれは元の式と比べて同じであるでしょうか？違いますね(場所が違う)
頂点は解っていますｘ＝１／６です。
つまり『ｙ＝３ｘの二乗』に対してｘは－１／６ずれているんです。
ずれているんだから修正してやれば良い訳です。
『ｙ＝３(ｘ+(1/6))の二乗』となるわけです。(ｘが－１／６の時左の式では0になるわけ)
ではｙは？となります。
y=3x《2》+x-4と言う式にｘ＝－１／６を入れてやりましょう。
ｙ＝３×(１／３６)＋(－１／６)－４です。
通分すれば、
ｙ＝１／１２－２／１２－４８／１２です。
ｙ＝－４９／１２…つまりｙはそれだけずれていた
『ｙ＝３(ｘ+(1/6))の二乗』ですから『ｙ＋49/12＝3(ｘ+(1/6))の二乗』
結果
ｙ＝3(ｘ+(1/6))の二乗－49/12
ほら、答えが出ましたよ。
因数分解もこの方法で答えられます。
x=(-b±√(b×b-4×a×c))/(2a)の計算結果x=1と-4/3から
(x-1)(x+4/3)です…が、格好が悪いので(x-1)(3x+4)です。

この方法で問題なのは「解なし」ですが
　x=(-b±√(b×b-4×a×c))/(2a)ですけど、一番解りやすいｃを適当に調節してあげてください。
求めたい値からどれだけずらしたかを把握していれば良いんです。
a×x×x×+b×x+c=0の解…すなはちｙが０の時の解です。
ｃを100勝手に増やしたとしましょう。
a×x×x×+b×x+c-100=0の解が求まる
a×x×x×+b×x+c=100の解が求まる
つまりｙが100ずれた時の解が出るだけなんです。
…これを理解して早く計算できれば点数なんてすぐに稼げます…(まぁ稼がせたわけですが…)
意味不明でも良いですが、理解できれば数学なんて恐れるに値しません…ほんと間近でアドバイスできないのが
苦しいですがこのあたりで…

回答No.2

ticky

まず、２乗は「x^2」のように書きます。

y＝3x^2＋x－4
＝3(x^2＋(1/3)x)－4
＝3(x^2＋２*(1/6)x)－4
＝3(x^2＋２*(1/6)x＋(1/6)^2－(1/6)^2)－4
＝3(x^2＋２*(1/6)x＋(1/6)^2)－3*(1/6)^2－4
＝3(x＋(1/6))^2－3*(1/6)^2－4
＝3(x＋(1/6))^2－49/12

流れがよく分かるように書いてみました。一つ一つ順を追って説明すると、
　xを含む項を、x^2の係数でくくる。こうすると、括弧の中のx^2には、係数が１になって、係数が消える。
　次に、括弧の中で平方完成する。平方完成するというのは、y=(x-a)^2＝x^2－2ax＋a^2
の逆をすることなので、まずaがどんな数字かを求める。
　x^2－2ax＋a^2のa^2にあたる数字が必要なので、a^2（この問題では(1/6)^2）を足して、同時にその分の釣り合いをとるためにa^2を引いておく。
　括弧の中身をx^2－2ax＋a^2だけにするために、引いておいたa^2を括弧の外に出す。（-(1/6)^2が括弧の外に出て-3*(1/6)になっています）
　x^2－2ax＋a^2の形が現れたので、この部分を(x-a)^2の形に直す。
　括弧の外を計算する。
　以上です。

ポイントは、自分のよく知っている式の形を、むりやり作り出すということです。
もちろん、「むりやり」といっても、式の整合性を保ったままですが。

お礼

どうもありがとうございますm(_ _)m
正確な問題は解答の「3(x＋(1/6))^2－49/12 」からｘ軸方向に１、ｙ軸方向に－２平行移動した放物線の方程式です。
どーすればいいんですか？？

回答No.1

ivallo

なつかしい問題だなー。
ところで、
y=3x《2》+x-4
のグラフの問題なのか最小値とかの問題なのか、それとも
3x《2》+x-4=0
の解を求める問題なのか(@_@)？？

全体を3で割ってx《2》を裸にします。
x《2》+1/3x-4/3=0
で、
x《2》+1/3x+1/36+(-4/3-1/36)=0
とか変形できるわけです。このヒントがあればあとは…、自分出てきますよね。

グラフを書くならx=0とかy=0いれてみて、x,y軸との交点を求めるわけです。

なにより、問題がわからないのであんまり教えられませんが、参考までにしながら頑張ってください。