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無限級数 Σ 1/4 cos 1/2 nπ
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こんばんは とりあえず、こういう問題でつまづいたら、 1から代入してみる! というのが常套手段でね♪ 4^(-n)×cos(1/2 nπ) これだよね。 自然数で、nを無限まで飛ばすということだよね。 n=1;1/4×cos (1/2 π) =0 (cosのところが0ですね) n=2;1/16 × cos π =-1/16 奇数のところはゼロになりますね。cosが0ですから。 偶数のところで、cosは+1か-1かでしかでてこないね。 これだけ分かれば次にでてくるのは、 1/256 が出てくるのは見えるかな? 級数になっているのは分かると思いますよ。 奇数のところは、後から引いてもいいけどね。 落ち着いてゆっくりとこう。 m(_ _)m ちゃんとやったらでてきますから。大丈夫だよ
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- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
数学なんてのは答えが出なきゃだめ、答えを出すことのみに意味がある という観点から答えを書きましょう C=Σ(n=1→∞)1/4^n cos(nπ/2) ここで S=Σ(n=1→∞)1/4^n sin(nπ/2) とおく。 Z=C+iS(iは虚数単位) を作るとオイラーの定理cosx+isinx=e^(ix)より Z=Σ(n=1→∞)1/4^n e^(inπ/2) =Σ(n=1→∞)( e^(iπ/2)/4)^n これは項比がr=e^(iπ/2)/4=i/4の等比級数の和で項比の絶対値が1より小さく、絶対収束する。 級数の和は Z=(n=1→∞)r(1-r^n)/(1-r)=r/(1-r) =i/4/(1-i/4)=(-1/4+i)*4/17 ほしいのはこの実数部すなわち -1/17 わかるかな。
- naniwacchi
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おはようございます。 見た目、悩んでしまうかもしれませんが、 ちょっと視点を変えるとそんなに難しくないことが見えてきます。 cos(nπ/2)の値だけを考えてみます。 #2さんも言われているように n= 1, 2, 3, 4, 5,・・・と代入してみましょう。 もっと直感的には、単位円を描いて考えてもよいと思います。 そうすれば、#1さんが言われている意味がわかると思いますよ。^^
お礼
naniwacchiさま いつも解説ありがとうございます。naniwacchiさんのおっしゃるように代入してみて、理解できました。本当にありがとうございました。また、よろしくお願いします。
- Tacosan
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これ, ただの等比級数だよね.
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お礼
B-jugglerさま 丁寧に教えてくださり、ありがとうございました。解けました!!! ほんとうにありがとうございました。