熱方程式混合問題のGreen関数

質問

熱方程式∂_t(u)=∂^2_x(u)の境界条件u(t,0)=u(t,π)=0つきの初期値問題のGreen関数についての質問なのですが、これは正値にどうしてなるのでしょうか。何かうまい計算法があればぜひ教えていただきたいです。かなり深刻に悩んでいるのですが、どうしてもうまくいきません。Green関数自体の意味は時刻0に位置y∈[0,π]に単位熱源を置いたときの時刻t>0,位置x∈[0,π]の温度を与えるというもので、明らかに正値になることは計算するまでもないのですが、具体的に計算だけで出来ないものなのかと。Green関数は
G(t,x,y)=2/πΣ_{1→∞}e^{-tn^2}sin(nx)sin(ny)
というものです。ただしt>0,x,y∈[0,π]とします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

やり方だけ参考程度に

∂＾2u/∂x＾2-∂u/∂t=0 --(1)
方程式の一般解は、(0＜x＜π)
u(x,t)=Σ[n=1～+∞]An*e＾(n)＾2tsin(nx)
An=(2/π)∫[0～xo]uo(x)sin(nx)dx
λn=n,

(1)式の(0＜x＜π, 0＜t)におけるグリーン関数は、
L≡∂＾2/∂x＾2-∂/∂t
と置くと、
L{G}=-δ(x-x')δ(t-t') --(2)
G(0,t;x',t')=G(π,t;x',t')=0
を満足する。
δ関数は、
δ(x-x')=(2/π)Σ[n=1～+∞]sin(nx)sin(nx') --(3)
δ(t-t')=(1/2π)∫[-∞～+∞]e＾jω(t-t')dω --(4)

関数、√(2/π)sin(nx) は同時境界条件を満たす完全直交系なので、グリーン関数G(x,t;x',t')を形式的に
G(x,t;x',t')
=(1/π)(√(1/2π))∫dω*Σg(ω,x')e＾jω(t-t')sin(nx)
--(5)
[ω=-∞～+∞], [n=1～+∞]
と置けば、(3),(4),(5)を(2)に代入すると、
G''(x)=-n＾2*G
G'(t)=jω*G
-G(n＾2+jω)
=-(1/π＾2)Σsin(nx)sin(nx')∫e＾jω(t-t')dω
比較すれば、
g(ω,x')=√(2/π)sin(nx')/{(n＾2)+jω} --(6)
(6)を(5)に代入する、
I=∫[-∞～+∞]e＾jω(t-t')/{(n＾2)+jω}dω
と置けば、
G(x,t;x',t')
=(1/π＾2)*I*Σ[n=1～+∞]sin(nx)sin(nx')
I=(1/j)∫[-∞～+∞]e＾jω(t-t')/{ω-j(n＾2)}dω
極：ω=j(n＾2), 留数の定理により、
I=(1/j)*2πj{e＾-n＾2(t-t')=2πe＾-n＾2(t-t')
t'＜t　, I=2πe＾-n＾2(t-t')
t＜t'　, I=0　
だから
求めるグリーン関数は、
G(x,t;x',t')
t'＜t
=(2/π)Σ[n=1～+∞]e＾-n＾2(t-t')sin(nx)sin(nx')
t＜t'
=0

x'=y と置けば同じ式
G(t,x,y)=2/πΣ_{1→∞}e^{-tn^2}sin(nx)sin(ny)
になりますね。

書籍「物理・工学のためのグリーン関数入門」
（東海大学出版、松浦他）など参考になりますね。
参考程度のみ

お礼

詳しい解説ほんとにありがとうございます。あとお礼がかなり遅れてしまって申し訳ないです。ちょうど先日、「物理・工学のためのグリーン関数入門」 を借りてきたところでした。もう一度ゆっくりやってみようと思います。