- ベストアンサー
青チャート 例題 高次不等式の解法
次の不等式を解け。ただし、a>0とする。 x^3-（a＋1）x^2＋（a-2）x＋2a≦0 解答ではまず最低次のaについて整理して （x＋1）（x-2）（x-a）≦0 そして ［1］0<a<2のとき ［2］a=2のとき ［3］2<aのとき と３つの場合に場合わけしているのですが どうやってこの［１］～［３］の場合分けがでてきたんでしょうか？ また解説にこのような図があったのですが なにを表しているのか分かりません。 誰かわかりやすく教えてください。
- kobedaigak
- お礼率13% (8/59)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数5
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>また解説にこのような図があったのですが >なにを表しているのか分かりません。 １行目に，実数（数直線）を場合分けした順番に，数値を並べて 区切り、 ２行目から４行目に (x＋1)(x-2)(x-a) のそれぞれの因数(x＋1),(x-2),(x-a)の符号を、 それぞれのxの範囲ごとに調べて，＋，－の符号を書き込み これらの積が≦0となるxの範囲，すなわち (x＋1)(x-2)(x-a)≦0 を満たすxの範囲を求めようとしています。 因数分解された高次の不等式などを解くときに用います。
関連するQ&A
- 青チャート 基本例題１０（分数式の恒等式）
次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。 -2x^2+6/(x+1)(x-1)^2=a/x+1-b/x-1+c/(x-1)^2 僕の解き方 まず分母を全て揃えます、その後、そろった分母の式（x-1)^2(x+1) を掛けます。 そうすると、分数でない形になり、数値代入法 x=1,-1,2を代入します。 答えは解答と一致しました。 解説 分数式でも、分母を０とするｘの値（本問ではー１、１）を除いて、 すべてのｘについて成り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して 整理すると両辺の分母は一致しているから、分子も等しくなるように、 係数比較法または数値代入法でa,b,cの値を定める。このとき、分母を払った多項式を考えるから分母を０にする値x=１、ー１を代入してもよい。（以下省略） 検討 分母を０にする値x=-1,1を代入してよいかが気になるところであるが、これは問題ない。なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。したがって、ｘにどんな値を代入してもよい。 そして、この等式が恒等式となるように係数を定めれば、両辺を（x+1) (x-1)^2で割って得られる分数式も恒等式である。ただし、これはx=1、 -1を除いて成り立つ。 教えてほしい所 恒等式・・・含まれている文字にどのような値を代入しても、その等式 の両辺の値が存在する限り常に成り立つ等式を、その文字についての恒等式という。 この説明のその等式の両辺の値が存在する限りの部分がイマイチぴんとこないのでスルーしていたせいでこの解説を読んで混乱しています。 僕の解き方は解説のような解き方ではないんですが、明らかに０にしているので解き方としてマズイですか？？ また、なぜなら、代入したのは、ｘ＝１、ー１でも成り立つ等式である。という部分がサッパリ理解できません。 消しちゃいけないのに、なぜ０になるような数値でもいいのでしょうか？？ 後、ただし、これはx=1、-1を除いて成り立つ。なのはなぜですか？？？ 文章能力がないので非常に分かりずらいかもしれません。 意味がわからない部分があったら補足します。 教えて下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 青チャートIIIの例題216について
f(x)は連続な関数、aは正の定数とする。 (1) 等式∫[0,a] f(x)dx = ∫[0,a] f(a-x)dxを証明せよ。 (2) (1)を用いて、定積分∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dxを求めよ。 とありました。手がつきませんでした。 解説をみてとりあえず1は置換積分をして積分変数をf(t)dtを定積分だからf(x)dxに変えて一致する。という説明で何となく納得できました。 でも定積分だからfのカッコ内の値がいくつでもいいという具体例のようなものを実際にお教えいただければ幸いです。『とりあえず書き換えちゃっていいよ』的なノリでしか理解していないので本質がまったくわかっていません。 また、2の解説では1の関係と f(x)+f(a-x)=1を使う。 とありました。 確かに足し算すれば1になったのですが変数を足してみたらたまたま1になったからこの等式を利用して積分を行っているということなのでしょうか？ あるいは、関数の連続性という性質から何がなんでも基本的に f(x)-f(a-x)=1 という定義なのでしょうか？ さっぱりわからなかっただけに解説が意図していることがわからず悩んでいます。 解答解説の上記2点が意味がわかっていないので答えというよりも上記の考え方をご指導いただければ幸いです。 また、この 置換積分を利用した定積分の等式の証明 におけるわかりやすい解説動画やサイトなどがあれば初学者でも見れるようなものだと大変助かるのでお教えいただければ幸いです。 長くなりましたが理解したいのでいつでもよろしいのでご指導お願いできれば幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数1 青チャート エクササイズ81の問題
EX81の(1),(2)について質問です。 問題) x|x|<(3x+2)|3x+2| を解け。 質問) 絶対値を含む2次不等式を解く問題ですが、(2)の解答の一行目の不等号が「 <= 」になる理由がわかりません。解答では最初の場合分けで「x <= -2/3 のとき...」と書いていますが、自分は「x < -2/3 のとき...」だと思いました。なぜ<ではなく<=なのでしょうか？ 解答のように<=とすると、最初の場合分けで、不等式にx=-2/3を代入できてしまい、|3x+2| = 0となるため絶対値を外すと3x+2となる場合が含まれてしまいますよね。 なのに解答では|3x+2| に-をつけて外しています。これはおかしくないでしょうか？ 原理を教えて欲しいです。 教科書には 「|A|・・・A>=0 のとき A, A<0 のとき -A」と書かれています。さらにEX81の(1)では、一番初めの場合分けでは「x < 0」としています。この違いは何なのでしょうか？？ ご教示お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 青チャート 基本例題１５
a+b+c=0のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 １a^3+b^3+c^3=-3(a+b)(b+c)(c+a) 教えてほしいところ ・この問題は要するにある条件下で、この等式が成り立つことを証明せよ。 ということですね。 条件式を利用して解説（省略）では、代入して文字を減らしていました。 なぜ、代入しただけで、ある条件を考慮したことになるんでしょうか？？ 教えて下さい
- 締切済み
- 数学・算数
- 青チャート 基本例題１９
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つなのはどのようなときか。 １(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+bv)^2 解説 (a^2+b^2)(x^2+y^2)ー(ax+bv)^2 ＝(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2) ＝a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2＞＝０ ゆえに(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+bv)^2 等号が成り立つのはay=bxのとき 教えてほしいところ 等号が成り立つのはay=bxのときという答えに違和感があります。 具体的な数値ではなく文字の等号の時というのは答えとしていいんですか？？ 厳密に教えて下さい
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 青チャート 基本例題９（数値代入法）
次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。 ax(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21 解説 係数比較法でもできるが、等式の形から、数値代入法を利用する。 ３つのxの値の代入でa,b,cは求められる（必要条件）が、この３つのｘの値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する（十分条件）。 ・・・・・・（ここからは省略） 教えてほしい点 次の等式が恒等式であるときと問題に書かれています。 よって、この関係式はどんなｘの値を代入しても成立するということです。 なのに、なぜこの３つのｘの値以外でも成り立つかどうかは不明なんですか？？ 教えて下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の不等式の問題
数学の不等式の問題 0<x<1 ・・・1 ｜x-a｜<2 ・・・2 とする。 1 を満たすどのようなxについても 2 が満たされるとき、実数aの範囲を求めよ。 という問題です。 模範解答では、まず最初に ｜x-a｜<2 より、-2<x-a<2 すなわち、a-2<x<a+2 としていました。この意味は分かりました。 しかし、模範解答を見る前に自力でやったやり方は、まず場合分けでした。 ｜x-a｜<2 より、x≧aのとき、x-a<2 すなわち ｘ＜2+a x<aのとき、-x+a<2 すなわち x>a-2 としてから解いたので、答えは x≧aのとき、a≧-1 x<aのとき、a≦2 と二通りでました。 ここで「かつ」ではないので まとめてはいけないと考えました。 しかし、模範解答のやり方でいくと ｜x-a｜<2 より、-2<x-a<2 すなわち、a-2<x<a+2 としているので、場合分けをしておらず 答えも-1≦a≦2 と一通りでした。 つまり、1 を満たす条件として、a-2≦0 かつ a+2≧1 となっているのです。 私の自力のやり方では「かつ」とはなっていません。 何が違うのでしょうか? 詳しい解説をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
