球の一部の弧の長さを求める式の根拠

質問

いつも大変お世話になっております。

球面を小さな三角形１２０個で分割した時
（添付図面参照）
小さな三角形が６つ集まった三角形を大三角形とし
その大三角形の点１、２間、点２、３間、点３、１間の長さ
（この場合は球なので弧の長さＬとする）を求める方法が
L＝Ｃ／６＋Ｃ／１００（Ｃ＝球の円周長）
と、式が提示されているのですが
この式の根拠を教えて頂けませんでしょうか？

公式だけを鵜呑みにすれば出来るのことなのかもしれなませんが
根拠を理解したうえで進みたいので皆様お忙しいところ申し訳ございませんがご指導宜しくお願い致します。

回答No.4

mb4808 · ベストアンサー

点１と点２の中点をMとします。
点Mの周りには小三角の同じ角が４個集まっているので１個９０°、
点１の周りには小三角の同じ角が１０個集まっているので１個３６°。
球面直角三角形では、直角以外の角をA,Bとすると、
　cos(直角の対辺)=cotA・cotB の関係があります。
ここに　A=∠(点１)(点３）M, B=∠（点３)(点１)M を入れると
cos L=cot 36°・cot 72° ∴L=63.43494‥‥°。
Cは中心角360°に対する弧長だから　C/6+C/100=63.6°
これを L の近似値として使ったのです。

お礼

ｍｂ４８０８様
文章中に中点Ｍなど仮定して書いて頂けると、私も手元で図を描きながら１つずつ理解することが出来ました。大変良く分かりました。早速のご回答ありとうございました。

回答No.3

alice_44

その式は、何かの近似式じゃないですかね。
要するに、正二十面体の一辺に対する中心角
を求めよという問題です。
答えはよく知られていて、cos(2πL/C) = (3√5 - 5)/4。
その式には、なりません。

お礼

ａｌｉｃｅ＿４４様
ご指摘の通り近似式であるということがこの度、ご質問させて頂いて分かりました。早速のご回答ありがとうございました。

回答No.2

felicior

その式はつまり
360*(1/6+1/100)＝63.6
ですから、求める弧に対する中心角は63.6度になると主張しているわけですが、
球面三角法の公式で私が計算すると63.43494884…となり度数法では割り切れない数になります。
正確にはこの角度をθとすると弧度法の計算で
cosθ＝1/(4sin(π/5)sin(2π/5))
を満たす角度です。
1/6と1/100が分けて書いてあるのと、かなり近い値が出ているのが非常に気になるのですが、
とにかくこのθはそんなに簡単な式では表せなさそうです…。

弧の位置や式中のＣの定義など何かが間違っていませんか？

お礼

ｆｅｌｉｃｉｏｒ様
＞弧の位置や式中のＣの定義など何かが間違っていませんか？
L＝Ｃ／６＋Ｃ／１００（Ｃ＝球の円周長）せっかく教えて頂いたにも関わらず申し訳ありませんが、間違っていません。
ただ、ご指摘の通りθはこんな簡単な式では出せない、ということが良く分かりました。早速のご回答ありがとうございました。

回答No.1

sono0315

回答になってませんが、
http://hp.vector.co.jp/authors/VA030421/polyh05.htm

シュワルツの球面三角形のことでしょう。

120個の三角形を使用すると
90度、60度、36度
の角をもつ球面三角形になるようです。

お礼

ｓｏｎｏ０３１５様
教えて頂いたＵＲＬにて、球面三角形について知ることが出来きました。早速のご回答ありがとうございました。