至急!! 不等式の証明を教えてください

質問

明日テストで困っています

a＞0，b＞0
(a+b)(1/a+1/b)≧4

の問題の解き方がわかりません
教えてください

回答No.8

ma-cyan369

早く、クローズしましょう！！！

回答No.7

kenjoko

質問者は分かったのか、分からないのかはっきりしろ！

回答No.6

ma-cyan369

私は＃4さんの考えが妥当だと思います。(私は展開しますが)

条件でａ＞０、ｂ＞０とくれば、相加・相乗平均の公式を用いるのは、一般的には定石です。

解答案を示すと
ａ＞０、ｂ＞０より相加・相乗平均の式を用いて、
　(ａ＋ｂ)(１／ａ＋１／ｂ)を展開すると
　ａ×１／ａ＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋ｂ×１／ｂ
　＝１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１
　＝２＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ≧２＋２√(ａ／ｂ・ｂ／ａ)＝２＋２＝４より
　(ａ＋ｂ)(１／ａ＋１／ｂ)≧４が成り立つ。

回答No.5

kenjoko

簡単に行こう

　　　左辺ー右辺

= (a+b)(1/a+1/b)-4

= (a+b){(a+b)/ab}-4

= (1/ab){(a+b)^2-4ab}

= (1/ab)(a-b)^2)≧0 　　　　　　　∵　a＞0，b＞0

　　　∴　(a+b)(1/a+1/b)≧4

　必要ならば「等号はa=bのときに成り立つ」を付け加える。

No.３と同じですね。

No.４の　どうして、みんなわざわざ不等式の左辺を展開して考えるんだろう？

いきなり相加相乗平均の関係・・・とありますが

本問ではこちらの方が楽だからです。相加、相乗平均の関係を用いるまでもないからでしょう。

ただ、解き方としては面白い。

また、相加、相乗平均の関係を用いて解けと指定される場合もあるので覚えていて損はないでしょう

回答No.4

f272

どうして、みんなわざわざ不等式の左辺を展開して考えるんだろう？
いきなり相加相乗平均の関係
a+b≧2√(ab)
1/a+1/b≧2√(1/ab)
を使えば
(a+b)(1/a+1/b)≧(2√(ab))(2√(1/ab))=4
で等号はa=bのときに成り立ってるよね。

回答No.3

noname#108210

左辺－右辺
(a+b)(1/a+1/b)-4
をつくり，変形して分子に平方式
{(a+b)^2-4ab}/(ab)
をつくる。

(a-b)^2≧0　これと
a>0,b>0　だから　ab>0　を使えば

{(a-b)^2}/(ab)≧0　がいえます。
そして，等号は，a=b　のとき成立です。

最後に，「ゆえに　(a+b)(1/a+1/b)-4≧0　」をいいます。

忘れてはいけないのが，
「　等号は，a=b　のとき成立。」

回答No.2

fukuda-h

不等式の左辺を展開して相加相乗平均の関係を利用すのがいいですね
(a+b)(1/a+1/b)＝1+a/b+b/a+1=2+a/b+b/a
ここでa/b>0,b/a>0であるから相加相乗平均の関係により
a/b+b/a≧√(a/b×b/a)=2
よって(a+b)(1/a+1/b)≧2+2＝4より(a+b)(1/a+1/b)≧4が成り立つ。

回答No.1

kh1007

まずは普通に因数分解しましょう。
(a+b)(1/a+1/b)=1+a/b+b/a+1
つまり
a/b+b/a≧2であることを証明すれば、ok
分母をabにしてしまえば、分かると思います。
後は自力でやってください。