フェルマーの最終定理をエクセルで証明して見てください

質問

フェルマーの最終定理は、ｎが２より大きい自然数であれば　Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないと言う内容です。ｎ＝2の時、3×3+4×4＝5×5が存在します。しかし、ｎが3以上なら数式を満たす自然数はないことを、エクセルを使って説明出来ることを発見しました。列に累乗する数値をI・2・3・4・5・6・7・・・と入力し、POWER関数（指数を累乗する関数）を使ってB列に2乗した値を、Ｃ列に3乗した値を、Ｄ列に4乗した値を・・・・と10乗するＪ列まで入力して見てください。（13乗までがエクセルの限界の様です）次に別のシートにＢ列Ｃ列Ｄ列・・・Ｊ列をそれぞれ貼り付け、前後の数値の差を求めます。そして、その結果のまた差を求めます。2乗は2回、3乗は3回、4乗は4回・・・10乗は10回繰り返します（列の先頭は全て1です）。すると、2乗は1・2・2・・と2（この連続する数を、連続基数と呼ぶ）が続きます。3乗は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続きます。10乗は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続きます。つまり、2乗した値は、1と2（基数と呼ぶ）を何倍かして、足すと求められるのです。3乗した値は1と5と6で表せます。同様に10乗した値は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800で表せます。では、何倍して合計すれば良いのでしょうか。別のシート（累計シートとする）の1行目のＡ列からＭ列まで、全て1を入力します。2行目では、1行目の累計を計算します。3行目では2行目の累計を計算します。2行目は1・2・3・4・・13となります。3行目は1・3・6・10・15・21・・・91となります。11行目は1・11・66・286・・・646646となります。この数と基数を掛けて合計すれば、累乗した値は求められます。2乗では、シートのＡ1に1を、Ａ2に2を入力します。累計シートの2行目（1・2・3・4・・13）をＢ1から貼り付け、累計シート3行目（1・3・6・10・15・21・・・78）をＣ2から貼り付けます。例えば、Ｅ列は4を2乗した値となります。1×4+2×6＝16＝4×4です。3乗の場合は、Ａ1に1、Ａ2に5、Ａ3に6を入力します。累計シートの3行目（1・3・6・・91）をＢ1からとＣ2から貼り付けます。累計シートの4行目（1・4・10・20・・・286）をＤ3から貼り付けます。例えば、Ｉ列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56＝512＝8×8×8です。10乗目は、Ａ列には上記の1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800を貼り付けます。累計シートの10行目（1・10・55・22・715・・・293930）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3・Ｅ4・Ｆ5・Ｇ6・Ｈ7・Ｉ8・Ｊ9から貼り付け、11行目（1・11・66・286）をＫ10から貼り付けます。例えばＫ列は、10の10乗の数値で1×48620+1014×24310+48854×11440+504046×5005+1814400×2002+3124754×715+3579946×220+3627786×55+3628799×10+3628800×1＝10000000000＝10×10×10×10×10×10×10×10×10×10です。フェルマーの最終定理は、この表の何列目かと何列目かを足すと、何列目かになる場合があるかと言い換えることが出来ます。みなさんは、3乗以上の表でそうなる事がないこをと証明できますか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

あなたのいう「エクセル」が Microsoft Excel であるなら, そんなことは不可能.
「証明」ってものを勘違いしてないか?

補足

回答者のおっしゃる通り、エクセルではあるところまでしか、計算出来ません。出来た所まではフェルマーの最終定理が正しいと言えるが、それ以降は証明されていないと言われているのでしょう。貴方の言われるのは一理あります。しかし、エクセルで出来た所以降も、それ以前と全く同じ法則で、累乗した数値を求められます。また、求める数式を分析すると、エクセルで出来た所まで同じ数式なので、同様の理由により、それ以降もフェルマーの最終定理の通り、Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないと言えるのです。エクセルは単に説明を簡単にする手段です。以下が私の回答です。
フェルマーの最終定理は、前記の「(3)10乗の値を求める表」の、何列目かと何列目かを足すと何列目かになる場合があるかと言い換えることが出来ます。その為にはまず、基数について分析して見ましょう。2乗の基数は1と2です。3乗の基数は1と5と6です。4乗は1・12・23・24です。10乗は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800です。基数の数は2乗なら2つ、3乗なら3つ、・・・10乗なら10個となります。連続基数は2乗なら1×2＝2、3乗なら1×2×3＝6、4乗なら1×2×3×4＝24、・・・10乗では、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＝3628800です。そして、両端から2つづつ足せば連続基数になります。10乗では、1+3628799＝1014+3627786＝48854+3579946＝504046+3124754＝1814400+1814400＝3628800となります。そして、どの乗においても１つ目の基数は1、2つ目の基数は2のｎ乗－ｎ（ｎは乗数を表す）、連続基数の前の基数は、連続基数から1を引いた値になります。次に、基数の倍数を分析してみます。「(3)10乗の値を求める表」の縦列は、累計シート10行目を逆にした数列です。等差数列ではないので、ある列のそれぞれの基数の数と、ある列のそれぞれの基数の数を足すと、別列のそれぞれの基数の数に丁度なると言う事はありません。2乗の場合は、基数が1と2のみであり、全ての基数が倍数の関係にあるので、それぞれの基数の数は異なっていても、全体が等しくなる場合があります。例えば3×3+4×4＝1×3+2×3+1×4+2×6＝1×5+2×10＝5×5（1が7つと2が9つは、1が5つと2が10個と等しい）となる場合があります。これは、全ての基数が倍数の関係にある場合にしか、起こりえません。3以上の乗で、全ての基数が倍数の関係にある場合があるか検証してみます。2番目に小さい基数は、2のｎ乗－ｎです。連続基数である1×2×3×4×・・・×ｎが、2のｎ乗－ｎで割り切れるのは、連続基数の丁度半分の値である時の1度のみです（3乗以上の場合）。また、連続基数が、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10ですので、2番目に大きい基数はこれから1を引くことになり、素数になります。ですから、3乗以上では、全ての基数が倍数の関係にある場合はありません。では、基数を端から2つ取って足した場合、連続基数になるのですから、それぞれ対応する基数の数が等しければ全体が連続基数の倍数となるので、それぞれの基数の数は異なっていても、ある列とある列を足せばある列になることが、あるかも知れません。しかし、表を見るとおり、小さい基数の数の方が多いことが分かります。全体が、連続基数の倍数になることはありません。以上述べた事は、3乗以上であれば、何乗の時でも当てはまります。従って、ｎが２より大きい自然数であれば　Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しません。

回答No.2

Tacosan

普通の人は「2乗の基数」とか「3乗の基数」とかいう言葉は使いません. これらが何を意味するのか, まず定義してください.
さらにいうと, 一般には「連続基数が、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10ですので、2番目に大きい基数はこれから1を引くことになり、素数になります」とは言えない (「連続基数」なる謎の表現はあるがここではおそらくただの階乗だと思うのでそう解釈) と思うのですが, どのように証明すればいいのでしょうか? ああ, もちろん「エクセルで計算した」というボケはなしですよ. ちゃんと「数学的に」証明してください.