次元解析でプランク長の求め方

質問

次元解析でプランク質量からプランク長の導きかたが分かりません。プランク質量は定義がはっきりしているので求まります。プランク長をどのように求めますか。何か参考書はありますか。次元解析でプランク質量からプランク長を導く方法を教えてください。

回答No.2

yokkun831

c,G,h~などの基本定数を組み合わせて，自然を特徴づける基本的な長さを表すのがプランク長なのでしょうから，c,G,h~ から長さ次元を構成すれば，直接に求めることはできます。

l = c^x G^y h~^z とおくと

[L] = [L T^-1]^x [M^-1 L^3 T^-2]^y [M L^2 T^-1] = M^(-y+z) L^(x+3y+2z) T^(-x-2y-z)

∴　-y+z = 0，　x+3y+2z = 1，　-x-2y-z =0

連立方程式を解いて，x = -3/2，y = z = 1/2 を得ます。

ただし，プランク質量から・・・とされていますから，質量から長さを出すにはそれらを結ぶ関係が必要ですね？　Wikipediaでは，

「プランク質量はコンプトン波長をπで割ったものとシュヴァルツシルト半径とが一致する質量である。その長さはプランク長である。」

とありますので，プランク質量をもつ超ミニブラックホールの大きさがプランク長ということになります。すると，

l = 2Gm/c^2

係数２は定数の定義として適当でありませんからとってしまえば，プランク質量mを用いてプランク長を

l = Gm/c^2

と書けることになり，上の次元解析の結果に一致します。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。次元解析を用いたプランク長の定義がなんとか分かるようになりました。まだ、疑問がありますが提示された回答をしっかり勉強します。感謝申しあげます。

回答No.1

Tacosan

プランク質量と万有引力定数から質量の次元を消して, 出てくる時間の次元を今度は光速度で消すのかな? これで長さの何乗になるか知らんけど, 適当にべきは処理する.
「プランク質量からプランク長を求める」なら, 普通に考える限りこんな感じにしかならないと思う.

お礼

ありがとうございました。