ラグランジュの未定係数法に関する問題

質問

領域Ｄ＝X~2+4Y~4=4の時、ｆ（X,Y）=X+2Yの最大・最小値を求めるという問題です。ラグランジュの未定係数法を使って解くのですが、局地を取りうる点を見つけるところで頓挫してしまいました。
答えは（X,Y）=(√2,1/√2)の時最大値2√2.
(X,Y)=(-√2,-1/√2)の時最小値-2√2
になるはずです。
どなたか御指南お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

■答えが正しいとすれば
A#1に書いたように問題が間違いで
「領域Ｄ＝X^2+4Y^2=4の時」と修正すれば、
(x,y)=(-√2,-1/√2),λ=-(√2)/4のとき
　最小値=-2√2≒-2.828427124746191
(x,y)=(√2,1/√2),λ=(√2)/4のとき
　最大値=2√2≒2.828427124746191
と答えとそのときのλが得られます。

参考までに、この元になったラグランジュの未定係数法（乗数法）から
導出された連立方程式は
　X^2+4Y^2-4=0
1-2λx=0
2-16λy^3=0
です。

■問題が正しいとすれば
お書きの答えが間違いで
(x,y)=(-1.661436330718165,-0.74611872146119),λ≒-0.300944386149のとき
　最小値≒-3.153673773640545

(x,y)=(1.661436330718165,0.74611872146119),λ≒0.300944386149のとき
　最大値≒3.153673773640545
とそのときのλが得られます。
（数値の正確式は3乗根を含む多重根号の長い複雑な式として得られますがここでは省略。）

参考までに、この元になったラグランジュの未定係数法(乗数法)から
導出された連立方程式は
　X^2+4Y^4-4=0
1-2λx=0
2-16λy^3=0
です。

参考）
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

補足

何度もわかりやすい解説感謝します。
最後に一つだけ、λの値を出した式が公式・方程式として存在するのなら、是非その名前だけでも教えていただけますか？（○○の定理といった感じで）自分で確かめ、納得したいのです。

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答
>最後に一つだけ、λの値を出した式が公式・方程式として存在するのなら、是非その名前だけでも教えていただけますか？
∂(f-λg)/∂λ=0 ⇔ g=0(拘束条件の式)
です。

ラグランジュの未定係数法（未定定数法、未定乗数法ともいう）のは
A#2に挙げた参考URLや次のURL
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/lagrangeUndetermin/
をよく読んでいただければわかるはずです。

未定係数λを導入して
f-λg　（fは最大値、最小値を求める関数、gは拘束条件）
を考えてこの極値を持つ条件として
f-λg
をすべての独立変数(n変数あるとする)で偏微分して「=0」とおけば
n個の連立方程式ができます。未知数λを追加していますので
∂(f-λg)/∂λ=0　…(▲)
なる1個の方程式加えれば、未知数の数(n+1)個に対して方程式の数の
(n+1)個になって、すべての独立変数と未定係数λが決定します。
(▲)のg=0の拘束条件そのものですから、（▲)の代わりに
g=0を使えばいいですね。
拘束条件が2つあれば(g1=0,g2=0)、
もちろん(▲)の式は、未定係数を2個λ1,λ2導入して
∂(f-λ1g1-λ2g2)/∂λ1=0 ⇔ g1=0（拘束条件1）
∂(f-λ1g1-λ2g2)/∂λ2=0 ⇔ g2=0（拘束条件2）
と追加した未定係数の数だけの方程式が追加されます。

ラグランジュの未定係数法では独立変数の数に拘束条件が加わって
未知数の数だけの方程式ができますので、f-λg=f+C(定数)が極値をもつ場合の変数の値とλは連立方程式を解けば求まります。
求めた変数に対してfの極値（最大値や最小値の候補）が求まります。

A#2に極値（最大値、最小値）を与える(x,y,λ)を求めるための
連立方程式を書いておきました。
未知数x,y,λで方程式３個なので、連立方程式を解けばλも出てきます。

お礼

本当にありがとうございました。

回答No.1

info22_

問題にミスがありませんか?

> 領域Ｄ＝X~2+4Y~4=4の時
正:領域Ｄ＝X^2+4Y^2=4の時
この訂正をすれば、お書きの答えが出てきます。

>グランジュの未定係数法を使って解くのですが、局地を取りうる点を見つけるところで頓挫してしまいました。

やった途中計算を補足にお書きください。

補足

問題と答えを読み直しても、確かに最初書いたとおりです。
以下途中までの計算です。
-------中途式-------
定理：ラグランジュの未定係数法
2回以上偏微分化の2変数関数
　f(X,Y),g(X,Y)について、
　曲線Ｃ：g(X,Y)=0
上の点Pがfの臨界点(gradf)(P)=0
になるとき、次が成立
"∂g(P)/∂X or ∂g(P)/∂Y, ≠ 0"
→(gradf)(P) = λ(gradg)(P)
g(P) = 0　となる定数λ≠0が成立

X^2+4Y^4-4=0と書き、g(X,Y)=X^2+4Y^4-4とおく。
このとき、∂g/∂X = 2X, ∂g/∂Y =16Y^3.
また、(gradf)(X,Y) = (∂f(X+2Y)/∂X,∂f(X+2Y)/∂Y) = (1,2) ≠ 0
関数f(X,Y)の最大・最小点をP(a,b)とおく。
今、P≠0, (a,b)≠（0,0）,a≠0 or b≠0
∴∂g(P)/∂X = 2a≠0 or ∂g(P)/∂Y = 16b^3≠0
従って、ラグランジュの未定係数法より、
(gradf)(P)=λ(gradg)(P)
となるλ≠0が存在する。(g(P)=0)
定理(gradf)(P) = λ(gradg)(P)より、
∴(1,2) = λ(2a,16b^3)
∴2λa = 1
16λb^3 = 2
---------ここまで--------
最後の部分で、2λa = 1より、
　a = 1/2λ
は出たのですが（これも正しいかはまだわかりませんが）、bの値が全く違うものとなってしまいました。
問題そのものが間違っていると言うことでしょうか・・・。