３の99乗÷７の余り

質問

中学の数学応用の問題です。

３の99乗÷７の余りはいくつになるでしょうか。下のヒントから考えましょう。
〈ヒント〉
３÷７の余りは３
３の２乗÷７の余りは２
３の３乗÷７の余りは６
３の４乗÷７の余りは４
以下同じように５乗、６乗、７乗…と増えていき、
余りは５、１、３、２、６、４、５、１、３…となっていきます。

中学生レベルの解説を一緒につけていただけると嬉しいです。
お願いします。

回答No.3

yamato300 · ベストアンサー

こんにちは

ある数が7の倍数+3であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+3)を7で割った余りで2

ある数が7の倍数+2であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+2)を7で割った余りで6

ある数が7の倍数+6であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+6)を7で割った余りで
18を7で割った余りに等しく4

ある数が7の倍数+4であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+4)を7で割った余りで
12を7で割った余りに等しく5

ある数が7の倍数+5であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+5)を7で割った余りで
15を7で割った余りに等しく1

ある数が7の倍数+1であるとき
3×その数　を7で割った余りは3×(7の倍数+1)を7で割った余りで3

これで「7で割った余りが3である数字」を3倍するごとに余りが
2→6→4→5→1→3→（以下繰り返し)　となることがわかりました.
つまり3を6回掛けるごとに余りが3に戻る.

3の99乗というのは3(7で割った余りは3)に3を98回掛けたものなので
6×16+2回 3を掛けていますから
3(→2→6→4→5→1→3)×12回→2→6　と余りが変化して6になるのが
答えではないでしょうか

お礼

なるほど！！
そう考えると 少しだけ 簡単な感じがします。

自分の頭の中もようやく整理がつきました。
ありがとうございました。

回答No.2

DIooggooID

余りが　・・・　　　３　　の場合、その母数（割る前の数）は、
　商　ｘ　７　＋　３　　　で表すことができます。

次数が　１つ上がると、・・・
　商　ｘ　７　ｘ　３　＋　３　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、３　ｘ　３　＝　９　です。　　これは　余りが　２になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商'　ｘ　７　＋　２　　　となります。

次数が　１つ上がると、・・・
　商'　ｘ　７　ｘ　３　＋　２　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、２　ｘ　３　＝　６　です。　　これは　余りが　６になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商''　ｘ　７　＋　６　　　となります。

次数が　１つ上がると、・・・
　商''　ｘ　７　ｘ　３　＋　６　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、６　ｘ　３　＝　１８　です。　　これは　余りが　４になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商'''　ｘ　７　＋　４　　　となります。

次数が　１つ上がると、・・・
　商'''　ｘ　７　ｘ　３　＋　４　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、４　ｘ　３　＝　１２　です。　　これは　余りが　５になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商''''　ｘ　７　＋　５　　　となります。

次数が　１つ上がると、・・・
　商''''　ｘ　７　ｘ　３　＋　５　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、５　ｘ　３　＝　１５　です。　　これは　余りが　１になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商'''''　ｘ　７　＋　１　　　となります。

次数が　１つ上がると、・・・
　商'''''　ｘ　７　ｘ　３　＋　１　ｘ　３　　　　になります。

　前半部分は、７　の倍数に　３　を掛けたものなので、　７の倍数です。
　後半部分は、１　ｘ　３　＝　３　です。　　これは　余りが　３になります。

　　　したがって、　その母数は、
　商''''''　ｘ　７　＋　３　　　となります。

　この母数の形式は、　最初の母数の形式と　同じです。

　次数を　増やしても、　７　で割ったときの　余りは、　上記の
繰り返しになります。

　３、　２、　６、　４、　５、　１、　・・・

お礼

私はめちゃくちゃバカなので、
読み終わってから少し悩んでしまいましたが、
なんとかわかりました。

これで今日は安心です。
ありがとうございました。

回答No.1

DIooggooID

３　の次数が　増加するにつれて、

その数を　７　で割ったときの　余り　が、

３、　２、　６、　４、　５、　１、　３、　２、　６、　４、　５、　１、３、　２、　６、　４、　５、　１、

と、"３、　２、　６、　４、　５、　１"　の繰り返しになる点に着目
すれば良いと思います。