たぶん、円順列だと思いますが教えてください。

質問

たぶん、円順列だと思いますが教えてください。
問)5人が手をつないで輪をつくる方法は何通りあるか。

A回答)
なにも考えずに輪になっているから円順列と決め付けて公式から
(5-1)!=24通り

B回答)
5人でアイウエオの位置に輪を作ります。

　　　　ア
　イ　　　　　オ

　　ウ　　　エ

それぞれの位置は始めは無人だとして
まずアの位置に人を入れる入れ方は5人のうち誰でもいいから5通り。
次にイの位置には残った4人のうちの誰かを入れるので4通り
ウの位置は更に残った3人のうちの誰かを入れるので3通り
エの位置は更に残った2人のうちの誰かを入れるので2通り
オの位置は最後に残った1人しかいないので1通り

一人ずつ各位置に次々に配置していくので「同時に起こっていない」→和の法則
5+4+3+2+1=15通り

C回答)
上のB回答ではあっていそうにない。
大体理由は説明できませんが積の法則がよく使われるから
5×4×3×2×1=120通り
積の法則がよくわかりません。

事柄Aの起こり方がm通りだとすると、そのおのおのについて、事柄Bの起こり方がn通りずつならば
m×n

問題にこれをどう当てはめればよいのかわかりません。

回答No.2

OKWave_com · ベストアンサー

（#1さんのご回答を見ていないので、同じことを回答しているかも知れませんが。。。）

> たぶん、円順列だと思いますが

円順列で合っています。
ですので、公式を使って、(5-1)!=24通り　と解くことができます。

ところで、(5-1)!＝5!／5　ですから、5人を並べる並べ方の数（5!=120通り）を5で割るというのが、この公式の意味です。
何故5で割るかということは、学校で習われたのではないかと思うのですが、輪になっているので、5人を仮にAさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんと呼ぶと、Aさんがwaveigeさんが書かれた絵のアの位置に入って反時計回りに　Aさん→Bさん→Cさん→Dさん→Eさん　と並ぶ並び方と、
Aさんがイの位置に入って反時計回りに　 Aさん→Bさん→Cさん→Dさん→Eさん　と並ぶ並び方は、5人が右に一つずつ位置を変えれば同じになるからです。
Aさんがア、イ、ウ、エ、オの5つの位置に入る5つの同じ並び方が、上に書いた120通りの中に含まれているため（Bさん～Eさんについても同様）、5で割って重複を排除してやるわけです。

ここまでよろしいでしょうか？
文章で書くとわかりにくいし、なにせ説明がへたなもんですみません^^;

> 積の法則がよくわかりません。
問題にこれをどう当てはめればよいのかわかりません。

アの位置に5人のうちの誰かが入るという事柄Aの起こり方が5通り、
そのおのおのについて、イの位置に残った4人のうちの誰かが入るという事柄Bの起こり方が4通り、（ここまで、5×4）
そのおのおのについて、ウの位置に残った3人のうちの誰かが入るという事柄Cの起こり方が3通り、（ここまで、5×4×3）
（以下同様）
として、最後は5×4×3×2×1＝120通り　と求めることができます。
（この問題の場合は、円順列なので5で割ってやることを忘れないようにしてください）

積の法則の使い方、イメージできたでしょうか？

お礼

＞円順列で合っています。
輪になって並ぶのは考えずに円順列を当てはめていいわけですね。
当てはめていいかどうかのコツとかポイントとか基準みたいのがわかりません。
それがわかれば、(ｎ－1)!をやるだけですから。

(5-1)!＝5!／5
この式はわかりますが、5で割るというのがしっくりきませんので図を書いてみます。

　　A 　 　　　　　E　　　　　　　　D　　　　　　　　C　　　　　　　B
B　 　　E 　　A 　　　 D 　　E　　　　　C 　 D 　　　 B 　 C　　　　　A
　C 　D 　 　　B 　 C 　　　 　A　　B　　　　　E 　A　　　　　D 　　E

これは5通りではなく1通りだということはわかっています。
この反時計回りのABCDE配置だけをみると「重複を排除して」
5通り×1/5=1通り
他にBACDE配置とかCABDE配置とかDABCE配置とかCDABE配置とか
沢山ありますね。
その配置それぞれ「重複を排除して」
5通り×1/5=1通り
だから順列の5!=120通りのなかで「重複を排除して」
120/5=24通り
ということですね。

わかりました。
でも#1先生の書くように図的に漫画的に
まだイメージできていませんが。

この問題を積の法則に具体的な当てはめかたは、わかりやすかったです。
積の法則はそのようになっていたわけですね。
んー、
同時に起こらなければ　和の法則　をあてがうので、排他的に
同時に起これば　　　　積の法則　だという風に思っていました。

積の法則は
直前の起こり方の、そのおのおのについて、次の起こり方が?通り
というふうに考えていけばいいわけですね。

あれっ、
これって、次々に起こることであって同時ではないから
和の法則ってなりませんか。

先生の回答を読んでいくと「わかった」という自分がいるんですが
和積の法則の間に、なにか納得いかない自分があります。

ありがとうございました。

回答No.6

OKWave_com

#2です。たびたびお邪魔します。

> ＞一つのサイコロを２回振った時に、「（１回目に）１の目が出る」と「（２回目に）２の目が出る」
＞は同時に起こります。
これは同時に起こらないと思います。
1回振ったら1の目が出た。
次に2回目振ったら2の目が出たわけですら、同時ではないですよね。

やはりこのあたりが混乱の元になっているようですね。
#3でも同じことを言っているつもりなのですが、「同時に」は、必ずしも”時間的な同時性”を意味しません。
#1さんが#5のご回答で書かれているように、「場合の数」を考える際の「同時に」は、頭を切り替えて(b)のように考える必要があります。

ただ、今いくらこれをくり返しご説明しても、余計混乱を招くだけだと思われますので、これ以上議論を深めることは避けたいと思います。
昨日、別のご質問に回答した際に同じことを書きましたが、今回、#4さんが書かれているように理解されるほうが素直だと思います。

お礼

＞「同時に」は、必ずしも”時間的な同時性”を意味しません。
「同時に」は　同じ時間に　と思っていますが
時間的以外のことをさしているんだったら、それに代わるような、わかりやすい言葉をどうして本は使ってくれないのかと思います。

ありがとうございました。

回答No.5

naniwacchi

#1です。

#2さん、#3さんが言われているとおり「同時」という言葉が混乱を生まれさせているようですね。

「3人を1列に並べる」ということを考えても
(a)「3人を並べる」ことを「同時（一つの試行・操作）」と考えるのか
(b)「1番目の人を選ぶ」「2番目の人を選ぶ」「3番目の人を選ぶ」のそれぞれを「一つの操作」と考えるのか
と、見方によっては違ったものになってしまいます。
「場合の数」を考えるときには、(b)の考え方を使って計算式を立てています。

「一列に並べる」「さいころを 1回振る」は、言葉の上ではどちらとも「一つの動作」となりますが、
・一列に並べるは、複数の試行（操作）の結果であり、
・さいころを 1回振るは、文字どおり 1回の試行である。
と違いがでてきます。
このあたりを「マンガ的に」想像できればいいのですが・・・

うまく表現できなくて、すみません。

お礼

すみません。お礼が遅くて#6まで回答が増えてしまいました。

＞「同時（一つの試行・操作）」
先生は
「同時」=「一つの試行」=「一つの操作」
と言葉を定義づけているわけですね。
「一つの試行」はわかり易いですね。

＞「場合の数」を考えるときには、
＞(b)「1番目の人を選ぶ」「2番目の人を選ぶ」「3番目の人を選ぶ」のそれぞれを「一つの操作」と考える
言葉が少なくて理解できませんが
「1番目の人を選ぶ」選び方がm通り
「2番目の人を選ぶ」選び方がn通り
「3番目の人を選ぶ」選び方がp通り
とするならば
＞それぞれを「一つの操作」と考える
ので
「同時」=「一つの試行」=「一つの操作」の定義を使うと
「1番目の人を選ぶ」選び方がm通り　は同時に起こる
「2番目の人を選ぶ」選び方がn通り　は同時に起こる
「3番目の人を選ぶ」選び方がp通り　は同時に起こる
でも
(m通り　n通り　p通り)は同時に起こらないから
m通り×n通り×p通り
という積の法則になるということですか。

また、混乱してきました。
同時という言葉は使わないほうがいいような気がします。
なぜ、わかりにくい言葉を本に書くのか困りますね。

＞・一列に並べるは、複数の試行
＞・さいころを 1回振るは、文字どおり 1回の試行
「試行」で統一してみるとしたら
複数の試行　であれば積の法則
1回の試行　であれば和の法則
というふうに問題文を読み解けばよいのでしょうか。
すみません。たとえば、
2個のさいころを1回振るのは、1どちらも1回振っているから1回の試行　となるのか
1回振っているけど二つのサイコロを使っているので2回の試行　となるのか
その見分けがつかないです。

ありがとうございました。

回答No.4

noname#108210

>一人ずつ各位置に次々に配置していくので「同時に起こっていない」→和>の法則

「同時に起こっていない」をキーワードにしてすべて処理するのは
やめた方がいいと思います。「和の法則」は互いに背反な事象（事柄）の場合の足し算ですから，「事象」をどう把握するかが問題になります。
単純に，同時に起こっていないから和の法則と考えるのは，危険です。

今の場合には，
A,B,C,D,Eの５人のうち，
「アの位置に入る人（事柄A）の起こり方がm通りだとすると、そのおのおのについて、イの位置に入る人（事柄B）の起こり方がn通りずつならば，」
のように考えていきます。

お礼

和の法則
事柄A、Bは同時に起こらないとする。Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りあるとき、
A、Bのいずれかが起こる場合の数はm+n通り。
と本にありました。

＞「同時に起こっていない」をキーワードにしてすべて処理するのはやめた方がいいと思います。
確かになんか別の表現があっていいのじゃないかと思います。

＞「アの位置に入る人（事柄A）の起こり方がm通りだとすると、そのおのおのについて、イの位置に入る人
＞（事柄B）の起こり方がn通りずつならば，」のように考えていきます。
そのおのおのについて・・次の起こり方が?通り・・
のようなフレーズがあてはまれば積にして、あてはまらなければ和にすということですね。
今回、当てはめるように先生方に誘導してもらったのでわかりますが
自分で別問題にとりくむと自信ないです。

ありがとうございました。

回答No.3

OKWave_com

#2です。

#1さんへのお礼欄を拝見しました。
「同時に起こる」というところで混乱されているようですね。

わかりやすい例を挙げると、
一つのサイコロを１回振った時に、「１の目が出る」と「２の目が出る」は同時には起こりませんよね。
また、今回のご質問の例で言うと、「Ａさんがアの位置に立つ」と「Ａさんがイの位置に立つ」は同時には起こりません。

一方、一つのサイコロを２回振った時に、「（１回目に）１の目が出る」と「（２回目に）２の目が出る」は同時に起こります。
また、「Ａさんがアの位置に立つ」と「Ｂさんがイの位置に立つ」は同時に起こります。

いかがでしょう？
「同時に起こる」の理解が少しは深まったでしょうか？

厳密に「同時に」の言葉に囚われてしまうと、混乱を招いてしまうと思います。
「同時に」というのは、都合の良い表現だと理解されると良いのではないかと思います。

お礼

お騒がせしてすみません。
#2先生に長時間かけてお礼を書いていたら#5まで回答がきてしまいました。

＞「１の目が出る」と「２の目が出る」は同時には起こりませんよね。
はい、わかります。

＞「Ａさんがアの位置に立つ」と「Ａさんがイの位置に立つ」は同時には起こりません。
これもわかります。

＞一つのサイコロを２回振った時に、「（１回目に）１の目が出る」と「（２回目に）２の目が出る」
＞は同時に起こります。
これは同時に起こらないと思います。
1回振ったら1の目が出た。
次に2回目振ったら2の目が出たわけですら、同時ではないですよね。

仮に二つのサイコロA、Bがあったとして、
同時に投げてAは1の目が出た、 Bは2の目が出た
という場合が「同時」ではないですか。

＞「Ａさんがアの位置に立つ」と「Ｂさんがイの位置に立つ」は同時に起こります。
これは微妙ですよね。
Ａさんはアの位置に
Ｂさんはイの位置に
Cさんはウの位置に
Dさんはエの位置に
Eさんはオの位置に
同時にぴょんとサークル状に配置すれば「同時」ですよね。

でも、#1先生のいうようにＡさんをアの位置にまず、固定させてから、
次にイの位置にＢさんを立たせる。
その次にウの位置にCさんを立たせる。・・・という感じでなら
同時に起こらないということですよね。

＞厳密に「同時に」の言葉に囚われてしまうと、混乱を招いてしまうと思います。
確かに、それをとても感じますが
昨日かおとといの先生に和積の法則をもう一度復習しなさいとかかれましたので
復習したら、どうも、逆になんかおかしな感じになってしまいした。
でも本に書いてある法則は嘘は書いてないはずだから・・
納得いかない感じです。

ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
先の質問では、疑問に答えられずすみませんでした。

まず、「回答」についてですが
「Ａ回答」が正解です。「Ｃ回答」も同じ式になっていますが。

考え方として、円順列は「回転して重なるものは同じとみなす」というのがポイントです。
ですので、ある一人を固定してしまうことで回転することを忘れてしまいます。
一人を固定したことで、残り 4人を並べる並べ方になります。

和の法則と積の法則ですが、
・「和」は、「ひとつの試行（操作）について」同時におこらないときに用いる法則です。
さいころを「1回」振ったときに、１～３が出る場合は何とおり？といったに用います。
・「積」ですが、質問の最後にも書かれているとおり、試行は複数回になっています。
さいころを「2回」振ったとき、目の出方は何とおり？といった場合です。

いまの問題では、
・まず一人を固定します。
・次に、固定した一人のとなりに並ぶ人を選びます。（選ぶ試行の 1回目）
これは 4とおりの選び方があります。
・そして、次のとなりを選びます。（選ぶ試行の 2回目）
これは、3とおりの選び方になります。
・以下、繰り返していきます。

組合せや確率の問題は、国語力も大きく関わってくるので、慣れるまで大変かもしれません。
できるだけ図にして、選ばれる様子（プロセス）を「マンガ的に」考えるようにしてみてください。

お礼

「回転して重なるものは同じとみなす」
ということは、ちょっと少なくして3人でやってみると

　　　1氏　　　　　　　3氏　　　　　　　　2氏

　2氏　　3氏　　　　1氏　　2氏　　　　3氏　　1氏

は円順列で1通りということですね。
順列だと

1氏　2氏　3氏　　　　3氏　1氏　2氏　　　　2氏　3氏　1氏

3通り。
ということは円順列は順列より場合の数は少ないですね。

＞さいころを「1回」振ったときに、１～３が出る場合は何とおり？
んー?
1が出る場合の数は1通り
2が出る場合の数は1通り
3が出る場合の数は1通り
1～3が出る場合の数は1+1+1=3通り・・和の法則ですね。

＞さいころを「2回」振ったとき、目の出方は何とおり？
1回目で3通りある。
2回目でも3通りある。
1回目と2回目は同時ではないから和の法則で3+3=6通り
と思いますが、
試行が複数回の場合は積?と書かれていますが
3×3=9通り　?

わかりません。

円順列は一人(1個とか)をまず固定しないといけないですか。
隣は残りの4人の中から選ぶから4通り
その隣は残りの3人の中から選ぶから3通り
そのまた隣は残りの2人の中から選ぶから2通り
そのまた隣は残りの1人しかいないから1通り
これらは同時に起こらないから和の法則で4+3+2+1=10通り
A回答が正解ならば24通りと異なりますね。
4×3×2×1=24通り
は積の法則。
これは同時に起こってないと解釈しましたが
同時に起こっているんですか。これ。

んー、国語力というか論理というか思考力というのか・・
迷路に入ったみたいで理解できません。

ありがとうございました。