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水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)
水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)で、n：粗度係数を一定とした場合、 流速Vが最大となる水深比は、円形管きょで約81％、正方形きょで約94％になると思います。 これを式によって証明したいと思いますが、お分かりになる方がいましたら、教えてください。 この本に載っているとかこのホームページに詳しく書いてある等の情報などでも結構です。 よろしくお願いします。
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Ｖ=1/ｎ×Ｒ^(2/3)×Ｉ^(1/2)において、粗度係数ｎと勾配Ｉは一定とします。これに径深Ｒ＝Ａ/Ｐを持ち込むと、 Ｖ=1/ｎ×(Ａ/Ｐ)^(2/3)×Ｉ^(1/2) となるので、径深Ａ/Ｐの最大値を求めれば、ＯＫです。ここからすぐわかる事は、径深は潤辺と流量断面積の比なので、流速Ｖは、開水路（管渠は開水路でしたね）の断面形状と水深だけで決まる、という事です。 そこで添付画像に示したような図を書いて、諦めずに計算すれば、最後には、 r(β)＝2(Ｐ/Ａ)＝a－sinβ/β ※ aは、円形管渠の内径 ※ －π/2＜θ＜π/2 ※ β＝π＋2θ ※ 0＜β＜2π が得られますので、後は、ふつうの微積の範囲で対処できます。ただし極大点のβを見つけるには、 β＝tanβ のような式を解く必要に迫られると思います。Excelでグラフを書いた方が、早いです。正方形管渠の場合は、もっと簡単と思います。 要は、径深は断面形状と水深だけで決まるので、断面形状が決まればＡもＰも水深の関数だという、ただそれだけです。 本ですが、 水理学１と2，椿東一郎，森北出版 (1995/06) をお奨めします。この本は、理論面も実用面もバランスの取れた、非常な良書と思います。ただし絶版なので、Amazonか図書館で探してみて下さい。粗度係数や空力の抵抗係数の、詳しい表まで載ってるものなんて、ほぼこの本くらいしか知りません。 別冊の演習書も付いてます。この問題などは、演習書には載ってる気がします。
土木が専門ですが、水理の設計（樋門の設計とか）を専門にやっていなかったので、マニングの式なんて久しぶりに見ました。 ｎ，Ｒ，Ｉと管路（管渠）について、もう少し説明された方が、回答がつきやすいと思います（自分も忘れました）。だいたい粗度係数なんて、土木以外ではまず出てこないと思います。
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