水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)について

質問

水理学のマニング式V=1/n×R^(2/3)×I^(1/2)で、

n：粗度係数を一定とした場合、
流速Vが最大となる水深比は、円形管きょで約81％になると思います。

R：径深(=A/P)
A：流水の断面積
P：流水の潤辺長
Ｉ：勾配

これを式によって証明したいと思いますが、お分かりになる方がいましたら、教えてください。

よろしくお願いします。

の質問に下記に示す回答をいただきました。

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粗度係数を一定とするので、Rが最大になれば流速が最大になります。
円の場合
中心角をxとすると、R=(1/2*r^2x+1/2*r^2*sin(2π-x))/（rx)
これを最大とするのはx=4.493rad
水深比は 1/2*(1-cos(x/2))=0.8128

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x=4.493radとなるとのことですが、どのようにして計算したのでしょうか。

そこを詳しく教えてください。

どなたかおわかりになる方がおられましたら、教えてください。

併せて、Q=AV　が最大になる水深比を計算で求める方法も分かりましたら、教えてください。

Q:流量
A：流水の断面積
V:流速

回答No.2

noname#221368

土木の数学って、とにかく地道にやりゃ～出来る範囲のものしか出ません。少なくとも講義や教科書では。必須のテクニックをおぼえる必要はありますが、基本は諦めずに、正直にどこまでも計算する事です。

　　Ｖ＝1/ｎ×(Ａ/Ｐ)^(2/3)×Ｉ^(1/2)

でした。Ｑ＝ＡＶなんだから、

　　Ｑ＝ＡＶ＝1/ｎ×Ａ×(Ａ/Ｐ)^(2/3)×Ｉ^(1/2)

です。よってＳ＝Ａ×(Ａ/Ｐ)^(2/3)の最大化でＯＫ、という話になります。しかし、^(2/3)の計算は面倒そうです。いまＡ＞0，Ｐ＞0はわかっているわけですから、Ｓの最大化もＴ＝Ｓ^3の最大化も同じはずです。Ｔ＝Ｓ^3＝Ａ^3×(Ａ/Ｐ)^2に、この前の式を代入すると、添付画像の式(1)になります。ただし式(1)では、

　　sinθ＝h／a－1

を使って、Ａ＝の式からhを消去し、θは、

　　β＝π＋2θ

を使って、βに置き換えています。
　式(1)より、Ｕ＝32Ｔ／a^8で定義できる、Ｕを最大化すれば良い事になります（式(2)）。例によってグラフを書きます（図-1）。例によって、横軸の単位はπです。図-1より、最大値は、1.5π～2πの範囲にあり、βの上下限での値は、最大値より小さい事がわかります。
　Ｕの最大点を見つけるために、Ｕをβで微分して0とおきます。結果は式(3)です。式(3)から得られるβの方程式は、

β＝sinβ　　　　　　　　　(4)
β＝2sinβ／(5cosβ－3)　　(5)

です。(4)と(5)のどちらかが0になれば良い訳ですが、例によってグラフを書くと、図-2となります。赤いラインが(4)の右辺，黒いラインが(5)の右辺，青のラインがy＝βです。
　図-2より、1.5π～2πの範囲で、黒と青のラインの交点を見つければ良いのですが、y＝β（青）が黒のラインの上に被さっているので、この前と同じように、(5)の右辺の逆関数を取る必要があります。ところがそれは、Excelの数式でサポートされていません。

　という訳で、本当に2分法かニュートン法に持ち込むしかなくなりますので、それは「x＝tan(x)の解き方」のところでお応えします。もう少々お待ち下さい。もっとも「x＝tan(x)の解き方」の他の皆さんの応えで、解決するかも知れませんが。

回答No.1

noname#221368

http://oshiete.nikkeibp.co.jp/qa5539049.htmlの#2です。先日は、流量断面積Ａの式で計算ミスを犯し、大変ご迷惑をおかけしました。専門家が聞いてあきれます。今回は、最後までやります。

　修正した径深の式は、添付画像の式(1)です。質問者様の導いたものと同じです。計算しやすくするために、Ｓ＝2Ｒ／aで定義した、式(2)の最大点を求めます。最大値を求める時の基本は、グラフを書く事です。図-1は、Excelを使って作りました（横軸の単位はπです）。実用的にはこれだけで、用が足りる事も少なくないです。

　図-1より、βの上下限でのＳの値は、唯一つの最大値より小さい事がわっかたので、唯一の最大点を見つけるために、Ｓをβで微分して0とおきます（式(3)）。これから得られるβの方程式は、

　　β＝tanβ　(4)

で、普通の方法では解けません。つまり、「β＝の形には出来ません」。そこで数値計算を行います。
　たいていはプログラムを書いて、2分法かニュート法に持ち込みますが、それではあんまりなので、Excelのみを用いて処理する方法を、ご紹介します。

　数値計算で方程式を解く場合の基本も、まずグラフを書く事です（図-2）。黒線がy＝tanβ，青線がy＝βのラインです。図-2より、式(4)の解は、π～1.5πの間にある事がわかります。交点を計算するために、(4)を、

　　arctanβ＝β　(5)

の形に変形します。arctanはtanの逆関数で、Excelでは「＝atan(セルまたは数値)」の形で使えます。(5)のグラフを、必要部分だけ取り出して書くと、図-3です。図-3の赤矢印にあるような順番で、折点を計算しながら進んで行けば、いつかは黒ラインと青ラインの交点にぶつかるのは、わかると思います。折点の計算が、表-1です。
　表-1の計算手順はこです。
　図-3より、β＝1から始めるとして、それのarctanβをつくり（1行目）、1行目のarctanβを2行目のβの欄にコピーしてそれのarctanβをつくり、2行目のarctanβを3行目のβへ・・・、とたどります。一度数式を書けば、後はコペピでＯＫです。そして値が収束するまでコピーします。収束判定は、欲しい有効数字までで良いと思います。表-1より結果は、β＝4.4934です。
　ただし表-1ではarctanβの数式を、＝atan(隣のセル)＋PI()　とする必要があります。何故かの説明は、けっこう手がかかるので、わからない場合は、よければ再質問して下さい。PI()はπを与える数式です。

　以上の方法は図-3にように、曲線の関数の下に直線y＝xがもぐる部分があり、交点を計算する場合には、いつでも使えます、ただし適当な初期値（β＝1など）を見つける事が必要です。そのためにもグラフを書きます。

　Ｑ＝ＡＶの最大化は、もっと複雑な式になるので、少々お待ち下さい。

補足

回答をいただいておりまして、本当にありがたいです。

ありがとうございます。

余裕がおありでしたら、引き続きよろしくお願いいたします。