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等差数列の共通項
①An=5n+1②Bn=3n-1 ①②はどちらも等差数列で、その共通項を出すのですが解答に、 ①はk項目、②はl項目に共通するとして、 Ak=5k+1,Bl=3l-1とおくと、 5(k+1)=3(l-1)とおけるんですが、この変換が良く理解できません。 一応、解説で、5k+1=3l-1のとき、共通する1組を、k'とl'とすると、 5k'+1=3l'-1とおける。 よって、5k+1=3l-1と5k'+1=3l'-1の連立方程式から、5k-5k'=3l-3l'が得られる。整理して5(k-k')=3(l-l')となり、 l'=1のとき、k'=-1だから、5(k+1)=3(l-1)となるみたいです。 いまいち理解できないので、解説していただきたいです。 申し訳ないですが、よろしくおねがいします。
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#1 は、3q - 5p = 2 という不定方程式を解け、の間違いでした。 たとえば、q = 4, p = 2 が一つの解ですね。 (3q - 5p = 1 の一解を求め、2 倍するのがふつうですが…) 一般解が、 q = 4 + 5k, p = 2 + 3k :k は任意の整数 であることは、(3q - 5p) に代入すればわかる。 共通項(値)は、 Ap = 5(2 + 3k) + 1 = 11 + 15k Bq = 3(4 + 5k) - 1 = 11 + 15k となり、当然ながら両者は一致。{11. 26, 41. 56, ...... } --------------------- 確かに、 5(p+1) = 11 + 15k 3(q-1) = 11 + 15k です。
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- Tacosan
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「何をしたいのか」というと, いみじくも自身で書かれているように「k+1、l+1が、それぞれ3の倍数、5の倍数」といいたいのです. 3 と 5 が互いに素であるところがポイント.
お礼
なるほど。ありがとうございました。 なぜか、連立方程式を持ち出されたので、混乱してました。 本当にありがとうございます。
- nag0720
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たぶん問題か解答のどちらかが間違っているのでしょう。 問題が正しいとしたら、 5(k+1)=3(l-1) ではなくて、 5(k+1)=3(l+1) ですね。
補足
その通りでした。 でも、どうして5(k+1)=3(l+1)の形になるかがわかりません。 全く説明できないですが、5k+1=3l-1を-1を移行、5k+2=3l になり、左辺を5でくくると、3多いので右辺に移行してくくると、5(k+1)=3(l+1)の完成。理解できません。つまり、何をしたいのでしょうか?確かに、k+1、l+1が、それぞれ3の倍数、5の倍数ってのはわかりやすいですが…
「共通項」とは、Ap = Bq が成立つときの値でしょうね。 つまり、5p - 3q = 2 という不定方程式を解け、ということなのでしょう。
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