高１レベル（？）の計算がわからないので教えてください

質問

すいません・・・下記の問題につまづいています。よろしければご教授ください。

＜問題＞
２桁の整数がある。その数の平方は、一の位と十の位を入れ替えた数の平方より７２９小さいという。この整数を求めよ。

＜私の考え＞
・整数を10a+bとする。
・条件から
(10a+b)^2=(10b+a)^2-729

ここまでは参考書にある立式と同じでしたが、私が考えた続きは
100a^2+20ab+b^2=100b^2+20ab+a^2-729
99a^2-99b^2=-729
となり、このあとどうしてよいか混乱してしまいました。

解説では
(10a+b)^2=(10b+a)^2-729
a^2-b^2=-8
(b^2-a^2)=8
(b-a)(b+a)=8
a,bは一桁の整数だから
(b-a,b+a)=2,4
よって
a=1,b=3
求める数は13

となっていました。

なぜこのような展開になってしまうのかわかりません。
特に
(10a+b)^2=(10b+a)^2-729
から
a^2-b^2=-8

への飛躍の仕方がわかりません。
その後の因数分解は、公式に乗っ取っていることは理解しています。

よろしく御願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

問題が間違っている気がします。

どう考えても、
13^2 = 31^2 - 792
です。
792 / 99 = 8
===============
題意を満たす数って存在しないんじゃない？
a^2 - b^2って絶対に整数だけど
729 / 99 って整数じゃないし

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。

No.2の方もおっしゃっていただいているように、これは、問題の間違いであろうと思われます。ありがとうございました。

回答No.2

OKWave_com

そもそも、問題自体が
「２桁の整数がある。その数の平方は、一の位と十の位を入れ替えた数の平方より”７９２”小さいという。」
ではないのですか？
と、突っ込みを入れてみましたが、たぶんそうか、あるいは参考書の解説では勝手に
(10a+b)^2=(10b+a)^2-792
に置き換えて解いてしまったかのいずれかでしょう。

というオチかと思います。
お後がよろしいようで

お礼

早速のご回答、ありがとうごさいました。

たしかにこれは問題のミスプリのようです。
ほんとに、とんだオチでした。一時間近く悩んでいたのに・・・。
ま、それくらい見抜けるようになりなさいというメッセージとして受け止めようかと思います（ちょっと苦しい納得の仕方だけど・・・）

ありがとうございました。

補足

質問者からの補足です。

ご回答いただいた順番にポイントをさしあげることとしました。
重ねてお二人にはお礼を申し上げます。