陰関数について

質問

商学部の二年生です。お手数をおかけしますが陰関数の問題がわからないので、教えていただきたいと思い、質問させていただきました。
総需要　D(p)＝242＋p－(p＋1)^5
総供給　S(p)＝p
の競争市場を考察する
単位当たりtの税が存在し、消費者が支払う価格をp^c　
企業が受け取る価格をp^fとする。
このとき
p^c＝p^f＋t・・・(1)
　D(p^c）＝S(p^f)のとき、市場は均衡している。この状況の下で以下考える。
均衡条件は
242＋p－(p＋1)^5＝p^f・・・(2)
(2)において(1)をもちいると
242＋p－(p＋1)^5＝p^c－t・・・(3)
t＝t0＝1のとき均衡消費者価格p^c(1)は(3)より
p^c(t0)＝p^c(1)＝2

問題
多生変数の税tがt＝t0＝1から微小変化するとき内生変数の価格p^c、p^fはどのようにへんかするか
すなわち
dp^c(1)/dt、dp^f(1)/dtをもとめよ
ヒント
・陰関数定理を適用できる形に問題を変形
f(p^c,t)＝・・・・＝0　←この時点でどうやってあらわせるのかわかりません！教えてください
・陰関数定理の仮定が満たされるかチェック
・t＝t0＝1の近傍でp^c(t)、p^f(t)の存在と微分可能性をもちいいて(これは陰関数定理の仮定が満たされていればok)dp^c(1)/dt、
dp^f(1)/dtを決定

いろんな参考書をみてやろうとしたのですが全然わかりません・・・
レポート提出なのでわかる方、是非教えていただきたいです！
よろしくお願いします！

回答No.2

endlessriver

ここの議論は直接、p,c,fには関係ないようです。関係するのはp^c、p^fという塊？です。
そこで、計算を簡単にするためC=p^c,F=p^fと置いただけです。だから、置き換えずともよいし、得られた結果を、C→p^c,F→p^fとして戻せばよいのです。

D(p^c)＝242＋p^c－(p^c＋1)^5=242+C-(C+1)^5
S(p^f)=p^f=F
を次式
D(p^c）＝S(p^f)すなわちD(C)=S(F)
に代入すると(2)が得られる（間違っているが。p->p^c）
さらに(1)は書き換えるとC=F+tであるので、これを正しい(3)に代入すると
242-(C+1)^5+t=0
となります。

お礼

endlessriverさん、本当にご丁寧なわかりやすい解説ありがとうございました。(2)のところ間違えてしまってすみません。
計算してみたところ、dp^c(1)/dt=1/405
dp^f(1)/dt=－404/405になったのですがあっているでしょうか？
かなり複雑な数字になったので間違っているのではないかと心配なのですが・・・・。
あと、
f(C(t),t)=0をtで微分するときは、(∂f/∂C)dC/dt+∂f/∂t=0のように
偏微分を使っているのは、f(C(t),t)=0が合成関数だからですよね？
C=F+tも二変数ですよね？(CとF)
ふつうの２変数のしきと２変数の合成関数ってなにがちがうんですか？
たとえば、f(x、y)＝ｘ^2＋x＋y^3＋5yとかは合成関数ですか？
ｘ^2＋y^3＋5y＝5x－yとかも合成関数ですか？

たくさん聞いてしまって本当にすみません。

回答No.1

endlessriver

結局、242-(C+1)^5+t=0、C=F+tとなるようです。ここで、C=p^c,F=p^f.
するとf(C,t)=242-(C+1)^5+tとおいて、f(C,t)=0の陰関数をC=C(t)とすれば
f(C(t),t)=0をtで微分して、(∂f/∂C)dC/dt+∂f/∂t=0となり
dC/dt=-(∂f/∂t)/(∂f/∂C)を計算すればよいです。

C=F+tだから両辺をtで微分してd/C=dF/dt+1からd/F/dtも計算できる。

お礼

わかりやすい回答をありがとうございます！！
ひとつ質問があるのですが、一番初めの242-(C+1)^5+t=0、C=F+tってどうやって出したしたのでしょうか？

あと、Cというのは最初はp^cで計算してあとからCにおきかえたものですか？それともCで計算してからp^cにおきかえたんですか？このCというのはp^cのcとは違いますよね？