2(cosθ*cosθ）≦sinθ+1

質問

0≦θ≦2πの時
2(cosθ*cosθ）≦sinθ+1の解き方を教えてください。

回答No.6

oldmacfan

ごめんなさい。やっちゃいました^^；「自信あり」なんてチェックするんじゃなかったなぁ…。

なぜか後半の不等式のところでsinθとcosθを勘違いするという大チョンボしちゃいました^^；　すみません。

正しくは質問者さんがご指摘の通り、

＞sinθ+1≧0であるから
＞sinθ+1＝0　または　2sinθ-1≧0
＞したがって
＞sinθ=-1　または　sinθ≧1/2

でいいですね。
ただ次からが私の場合は解答と違います。（ほんの少しだけですけど）

sinθ=-1　ということから　
単位円上の点でsinθつまりｙ座標が－1となる角度を調べると
θ=(3π)/2　　←度数法ではθ=270°

sinθ≧1/2　ということから
単位円上の点でsinθつまりｙ座標が1/2以上となる角度の範囲を調べて
π/6≦θ≦(5π)/6 ←度数法では30°≦θ≦150°

念のため解答のπの位置をもう一度ご確認下さい。πが分母にくることはないと思われます。πの位置は分数の上か真横にきているはずです。

回答No.5

mister_moonlight

＞こちらが間違いなのでしょうか？

問題集の解答が正しい。従って、＃3の回答は誤り。

回答No.4

oldmacfan

下から４行目が

sinθ≦-1

でした。訂正致します。

回答No.3

oldmacfan

cosθ*cosθ=cosθ^2（cosθの２乗）と表すことにします。

cosθ^2＋sinθ^2=1　より、

2(cosθ*cosθ）≦sinθ+1　すなわち　2cosθ^2≦sinθ+1は

2(1-sinθ^2)≦sinθ+1　となりこれを整理して因数分解すると

(2sinθ－1)(sinθ+1)≧0

これをsinθの２次不等式と見立てて解くと

sinθ≦-1　，1/2≦sinθ

あとは単位円を使って解けば

θ=(3π)/2 , 0≦θ≦π/3, (5π)/3≦θ≦2π

となります。

お礼

ありがとうございます。
問題集の解説では、

cosθ^2＋sinθ^2=1　
2(1-sinθ^2)≦sinθ+1
(2sinθ－1)(sinθ+1)≧0

ここまでは一緒なのですが、
次から下のような回答になっているのです。

sinθ+1≧0であるから
sinθ+1＝0　または　2sinθ-1≧0
したがって
sinθ=-1　または　sinθ≧1/2
0≦θ＜2πであるから
sinθ=-1より　θ=3/(2π)
sinθ≧1/2より　π/6≦θ≦5/(6π)
よって解は
θ=3/(2π)，π/6≦θ≦5/(6π)
となっているのです。

こちらが間違いなのでしょうか？

回答No.2

oldmacfan

cosθ*cosθ=cosθ^2（cosθの２乗）と表すことにします。

cosθ^2＋sinθ^2=1　より、

2(cosθ*cosθ）≦sinθ+1　すなわち　2cosθ^2≦sinθ+1は

2(1-sinθ^2)≦sinθ+1　となりこれを整理して因数分解すると

(2sinθ－1)(sinθ+1)≧0

これをsinθの２次不等式と見立てて解くと

sinθ≦1　，1/2≦sinθ

あとは単位円を使って解けば

θ=(3π)/2 , 0≦θ≦π/3, (5π)/3≦θ≦2π

となります。

回答No.1

bgm38489

(sinθ^2)+(cosθ^2)＝１を使って、全部sinθになおし、二次方程式としてsinθの範囲を求め、それによりθの範囲を求める。それだけですよ。