液体が受ける重力について

質問

物理学に関してです。

以下問題文です。

一端を閉じたガラス管を斜めに一定の密度の液体中に沈めてから，鉛直に立て，液体面の高さがガラス管の内と外とで同じになるようにした。このとき，液体面とガラス管の上端との距離はL1であった。
次に，ガラス管を鉛直上向きに引き上げ，ガラス管の内と外の液体面の高さの差がL2になるようにした。このとき，ガラス管内の液体面とガラス管の上端との距離がyになった。
L1とL2の関係を表したグラフがどうなるか，最も適当なものを選べ。

重力が鍵となるとは思いますが，
浮力も考慮すべきかどうか疑問です。
恐縮ですが，解答の方針を賜りたいと思います。

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

大気圧をＰ、ガラス管内の空気の圧力をｐ、ガラス管の断面積をＳ、液体の密度をρ、重力加速度をｇとすると、圧力のつりあいから
Ｐ＝ｐ＋ρｇＬ２
ｐ＝Ｐ－ρｇＬ２
ガラス管内の気体について温度が一定であれば体積＊圧力は一定なので両辺にＳｙをかけると
Ｓｙｐ＝（Ｐ－ρｇＬ２）Ｓｙ
　　　＝const.
ｙ＝const．／（Ｐ－ρｇＬ２）／Ｓ
ということのなると思います。

お礼

gohtrawさん，ご回答ありがとうございます。

ボイル則と照らし合わせ，ご指導頂いた解説を
参考にしたところ一層明白になりました。
ちなみに以下，直接解答には必要ないと思いますが
最後のｙ＝const．／（Ｐ－ρｇＬ２）／Ｓを
MKS単位を前提に次元解析すると，「y」すなわち
一次の「M」に到達するのでしょうか。

お手間を割き恐縮ですが，何卒宜しくお願い致します。

回答No.7

buturikyou

《トリチェリーの真空》でパラドクスじみた現象が起こるのは「上端が真空でなくても結果が同じ」というところです。内圧によって液体を押し下げるように見えて「同温の気体は外力なしには伸縮しない」ということから殆ど同じ結果が見られます。そこで問題としたら、トリチェリーは水銀で実験を見せたとのですけど、その際に後世の研究によって「上端の空間は水銀蒸気で満たされるので真空ではない」と分かったのです。問題としたら「それが一気圧なのかどうか」ぐらいですかね？

ま、300ｍまで行かなくても水でも10ｍを大きく超えれば変わってきますけれど・・、その際には(3)の形になるように存じます。ですから液体が水銀で円柱が１ｍ以上、さらにグラフの形だけ、という条件下で答えは(3)になるでしょう。ですがグラフは「完全に水平な部分」と「以後が完全に直線的に上昇する部分」を貼り合わせたようになるはずですから厳格には「解答は存在しない」と言うべきでしょう。

そりゃ、発行元に尋ねるべきでしょうね・・。

お礼

buturikyouさん，ご回答ありがとうございました。

仰る内容全てが私にとって雲がかっていたことです。

とかく，今回の問題のような身近な現象を実験例に用いると
お話の中の「上端が真空でなくても結果が同じ」にまで
目が届かず，問題に集中するあまり定理公式に依存してしまいます。
厳密には解答は存在しないことも解答として有りうると，
問題自体を疑う姿勢に気づかせて頂きました。
発刊元には何らかの形で訂正を求めてみたいと思います。

私の視野の狭さを大きく広げられました。重ねてお礼申し上げます。

回答No.6

buturikyou

この(1)～(4)の回答は疑問に思ってご自分で造られたのでしょうか？コップで実験なさってみたら一目瞭然だと存じますがコップの中の空気層は伸縮いたしません！トリチェリーの真空をご存じですか、水の場合10ｍぐらいはそのまま上昇できますよ、ですから正しい答えは選択肢の中にはございません・・。

お礼

buturikyouさん，ご回答ありがとうございます。

ご指摘の(1)～(4)に関してですが，これについては
問題に付随しておりました。
（出典は「EJU」と呼ばれる留学生が大学受験資格を得る為に
　必須となる試験問題からです）
また，実験と呼ぶには甚だ遠いお遊び程度は試みた経験が
あります。水銀柱を用い760Torr = 1気圧を導いた
「トリチェリーの真空」存じ上げますが，先入観ばかりで
ここで活かされるとは思いませんでした。

正答が存在しないとなると，発刊元に尋ねるべきでしょうか。
問題には具体的数値は記載されていないので，極端かつ屁理屈のようで
不躾ですが質問させて頂きますと，
このガラス管が300m程度だとしてこの中の選択肢にあるような
現象が見られ始めるのでしょうか。

回答No.5

gohtraw

＃４です。
Ｓｙが体積なので、ｙは長さの次元を持ちます。

お礼

gohtrawさん，補足ありがとうございました。

確かにSyの時点で一次の[L]の次元となります。
私の説明不足が多分にありますが，どちらかというと
お教え頂いた，
　　ｙ＝const．／（Ｐ－ρｇＬ２）／Ｓ
の右辺の次元に関してでした。
Const.自体の次元を明らかにすれば個人的に導出でき，
ご指摘の次元に到達しました。

無理なく理解できる範囲でのご説明に感服しております。
今後も不備の際，お知恵を賜るかもしれませんが，
何卒宜しくお願い致します。

回答No.3

sanori

＞＞＞
定性的に納得出来ましたが尚一層の解決を望みたく，
グラフに結びつく具体的な方程式等導出頂けると幸いです。
差し支えなければ宜しくお願い致します。

そう来ましたか。（笑）

ちゃんと考えると難しいのですが、だいたいのことであれば私にも式は立てられます。

右の図で、管の外の水位と同じ高さのところで、水を水平に切ります。
そこの水位をＬ３としましょう。
水を、Ｌ３から上の部分とＬ３から下の部分に分けて考えます。
すると、Ｌ３より下側の、Ｌ３を表面とする水は、
Ｌ３より上側の水の重みにも押されているし、Ｌ２より上の高さｙの空気にも押されています。

一方、管の外を見ると、
水位Ｌ３の水が、大気圧によって押されています。

よって、だいたいの、つりあいの式を書いてみますと、
管の中の高さＬ２の水の重み　＋　管の中の高さｙの空気の重み　＝　管の外の大気圧による重み
となりますが、
管の中の高さＬ２の水の重みはＬ２に比例し、
管の中の空気の重みは一定で、
管の外の大気圧による重みも一定です。

よって、
定数その１　×　Ｌ２　＋　定数その２　＝　定数その３
となりますから、
Ｌ２　＝　定数
です。

ですから、「Ｌ２が一定になる」というイメージに最も近いグラフを選べばよいのです。

お礼

sanoriさん，重ねてお礼申し上げます。

私自身の至らぬ知恵不足によりお手間を割き，
大変恐縮です。
仰るご丁寧な過程から概要を把握すれば，
一次直線にならぬことは明らかとなりました。
大気圧のつりあいに着目すべきだとは，
皆目見当がつきませんでした。
新しい発見を賜りました。

今後も疑問が浮上した際にはまず自身の思考を巡らせ
解決に詰まった折には，お力を拝借させて頂きたいと思います。

回答No.2

sanori

こんにちは。

上の３つの図のうち、真ん中の図において、
管の中と外で水位が同じなのはなぜか？
それは、管の中の水面を管の中の空気が上から押す圧力と、
管の外の水面を管の外の空気が上から押す圧力とが同じだからです。

次に、
上の３つの図のうち、右の図において、
管の中の方が管の外よりも水位がＬ２だけ高いのはなぜか？
それは、管の中の水面を押す管の中の空気が真空に近づくので、
管の中の水面を管の中の空気が上から押す圧力よりも、
管の外の水面を管の外の空気が上から押す圧力の方が強いからです。

ということは、
管を徐々に引き上げると、管の中の空気がだんだん疎になって真空に近づくにつれ、
最初のうちは管の中の水位Ｌ２がどんどん上がりますが、
その後は、管を引き上げても、あまり水位Ｌ２が上がらなくなります。

よって、ｙがどんどん変化しても、あるところからＬ２がほとんど変化しないグラフが正解となります。
それはどれかというと、３番のグラフです。

＞＞＞重力が鍵となるとは思いますが，

はい。
確かに重力は関係あります。
右の図のＬ２の高さの水の部分です。
しかし、上述の通り、空気が水を下方向に押す圧力を考慮するだけで解けちゃいます。
別の言い方をすれば、そもそも大気圧というのは、地球全体の表面にある大気が地球の重力によって地表に押さえつけられているから発生しているのですが。
（もちろん水に対する重力も同様なのですが、管の中でも外でも水にかかる重力は同じなので、計算に入れる必要はありません。）

＞＞＞浮力も考慮すべきかどうか疑問です。

この問題の場合は、考慮しなくてよいです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

sanoriさん，懇切丁寧な解説ありがとうございました。

管内が「真空に近づく」という発想が全くありませんでした。
私が考慮していた重力について，起因する範囲のみ
ピンポイントに踏まえれば良いことが理解できました。

定性的に納得出来ましたが尚一層の解決を望みたく，
グラフに結びつく具体的な方程式等導出頂けると幸いです。
差し支えなければ宜しくお願い致します。

回答No.1

rabbit_cat

＞重力が鍵となるとは思いますが，
＞浮力も考慮すべきかどうか疑問です。
気体の圧力と体積の関係（ボイルの法則）が鍵になるんでしょう。

お礼

rabbit_catさん，誠にありがとうございます。

盲目的に重力ばかりに気が向いていましたが，
管内に焦点を当てると確かに重力に加え，
仰る要素が必要になってくると理解できます。
「ボイル則」を一旦照らし合わせてみます。

再度疑問が見つかった際には
改めてご質問させて頂きたいと思います。