至急回答求む！

質問

直線ｙ＝３に接しており、円（ｘ－１）＾２＋ｙ＾２＝１に外接する円の軌跡を求めよ。という問題があるのですが、どのように解いていいのかわかりません。解き方がわかる方はおしえてください！お願いします！！

回答No.4

noname#107596

No.1の回答のように準線と焦点で考えてみます。

準線、焦点とは、放物線上の各点はある点から準線までの距離と
そのある点から焦点(b,c)との距離が等しい、ということです。
今回の問題では求める軌跡の各点は、
ある点から直線y=3までの距離が、ある点から円の中心(1,0)との
距離より円の半径１の分だけ短い、となるので、
言い換えると直線y=4(y=3より平行移動で1遠くなる)との距離が、点(1,0)との距離と等しい点の軌跡
となり、答えはy=4を準線、点(1,0)を焦点とする放物線になります。

このあとは準線y=-a、焦点(0,a)の放物線は　x^2=4ay　になるので、
No.1(No.3)の回答のようにそれを平行移動させても求められますし、
No.2の回答のように準線との距離と焦点との距離が等しいことから
等式をたてても求められます。

ただ、準線、焦点などを知らなかった場合、
軌跡を求める際は、軌跡上の点を(x,y)と置き、
そのｘ,ｙを使って、図形から導ける等式を作る、
という手順がまず基本だと思います。

回答No.3

arrysthmia

放物線の幾何学的定義を知っていれば、
引き算一回で終わる話で、
何が出るかなドキドキワクワクの
長々した式変形は、不要になります。
(そういうのも、楽しいけどね。)
教養って、大切です。
それが、所謂「ゆとり教育」の損なったもの。

回答No.2

info22

>接する円の軌跡を求めよ。
これは円の中心の軌跡を求めよ。ではないですか？

求め方）
まず、図を描くことが大切です。
仮に外接円の中心座標を(x0,y0),半径をrと置いてみて下さい。
図をよく観察し円の中心を結ぶ線や円の中心からy=3やx軸に垂線を下ろしてみてください。そして、円の半径1とr,x0,y0を書き込んで、
y0をrを使って表してみてください。…（A)
また、２つの円の中心を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形（他の一辺の長さが|1-xo|、もう一辺の長さが(3-y0))に3平方の定理を適用してみてください。…（B)
(A)からできる式のrを（B)からできる式に代入してrを消去すれば
外接円の中心座標(x0,y0）のx0とy0の間の関係式が出てきます。
この(x0,y0)の点の軌跡が求める軌跡になります。
x0,y0を一般のx,yに置き換えてやれば軌跡を表す方程式ななります。

どんな曲線になるかは式を導出してのお楽しみとしておきましょう。
（#1さんがお書きのように放物線になると思いますが。）

回答No.1

arrysthmia

円錐曲線の各形の、
方程式を使わない、
幾何学的な定義を
復習してください。

質問の軌跡は、
y=3 を準線とし
(1,0) を焦点とする
放物線のひとつになります。