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連立一次方程式の解き方がわかりません
行列の対角化で固有値を求めた後、固有ベクトルを求めるために連立方程式を解きますが、 例えば x + y = 0 3x + 3y = 0 これはどうやって解けばいいのですか？代入すると０になりますし、 習った覚えがありません。k(1 -1)になるのはなんとなくわかりますが・・・ 宜しくお願い致します。
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方向が決まるとは、限りません。 あくまで、自由度が残るということです。 不定解の自由度が 1 ならば、決まりますけど。例えば、単位行列の固有ベクトルは どうなりますか？
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- naniwacchi
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固有ベクトル：xは、Ａx=λxという式を満たします。 図形的に考えると、固有ベクトルを行列Ａで表される1次変換で変換しても、 自分自身を何倍かに拡大or縮小or恒等変換しただけになるということです。 この固有ベクトルを直線の方向ベクトルに置き換えると、 「不動直線」や「不動点の集まり（λ=1）」となります。 直線の方向ベクトルは、唯一ではなく無数あります。 つまりは、大きさを変えれば無数あるということで、大事なのはあくまでも「方向」です。 (1,-1)のように分かりやすい数字で答えても構いませんし、 ノルム（ベクトルの大きさ）が1となるように 1/√(2)*(1,-1)としても構いません。 ノルムを1とする処理を「規格化」と呼びます。 長さ1のベクトルがどちらを向く？といったイメージになります。
- arrysthmia
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行列 A の固有値 λ に対する固有ベクトルが x であるとは、Ax=λx が成り立つことです。 この式は、単位行列を E とすると (A-λE)x=0 と書くことができ、x の一次方程式です。 一次方程式の解には、 確定・不定・不能の場合がありますが、 この方程式が確定の場合であれば、x=0 となって、 x は固有ベクトルになりません。 つまり、λ が固有値であるとは、 x の一次方程式が不定の場合になるように λ の値を選んである ということです。 だから、方程式のいくつかの列は冗長で、 解 x は、自由バラメータを持つようなものになるのです。 要するに、3x+3y=0 の式は無視してかまわない ということです。
お礼
ありがとうございます いま思考を整理中です。。。 んー
- haragyatei
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固有ベクトルを満たす方程式は固有ベクトルのノルムは任意です。だから先ほどの方程式にたとえば x^2+y^2=1 を加えて解けばいいのです。どんな値のノルムでもよければx=1としてy=-1も固有ベクトルです。
補足
回答ありがとうございます。 すみません、ノルムって初めて聞きました。 何か参考になるサイトないでしょうか？
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お礼
ありがとうございます んーつまり固有ベクトルを求めるための連立方程式というのは 無数にあるベクトルの方向（x,y成分の割合）を表しているということ なのでしょうか？